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Funciones
Simetrías y periodicidad
.
Determina si estas funciones son simétricas y en caso afirmativo, indica de qué tipo son.
a)
f
(
x
)
=
x
3
−
x
b)
f
(
x
)
=
x
2
+
2
x
c)
f
(
x
)
=
x
d)
f
(
x
)
=
x
4
+
3
x
2
.
Estudia si las siguientes funciones son simétricas y/o periódicas, indicando el tipo de simetría y/o el
período cuando corresponda. Justifica tu respuesta.
a)
c)
Y
X
O
1
1
Y
X
O
1
1
b)
d)
Y
X
O
1
1
Y
X
O
1
1
Una función es simétrica respecto del eje
Y
(simetría par) si, al
plegar
su gráfica a lo largo del eje
Y,
coincide consigo misma. En cambio, es simétrica respecto del origen (simetría impar) si la gráfica
coincide consigo misma al
plegarla
dos veces, una respecto del eje
X
y otra respecto del eje
Y.
Presta atención
La amplitud del tramo más
pequeño que se repite se
llama período.
Recuerda
Sustituimos
x
por
−
x
y operamos:
f
(
−
x
)
=
(
−
x
)
3
−
(
−
x
)
=
−
x
3
+
x
Como
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
), es simétrica respecto del origen (simetría impar).
Sustituimos
x
por
−
x
y operamos:
f
(
−
x
)
=
(
−
x
)
2
+
2
⋅
(
−
x
)
=
x
2
−
2
x
Como
f
(
−
x
) no coincide con
f
(
x
) ni con
−
f
(
x
), la función no es simétrica.
Sustituimos
x
por
−
x
y operamos:
f
(
−
x
)
=
−
x
f
(
−
x
) no está definida en el dominio de
f
(
x
), porque solo se puede calcular la raíz cuadrada de números
positivos. Por tanto, la función no es simétrica.
Sustituimos
x
por
−
x
y operamos:
f
(
−
x
)
=
(
−
x
)
4
+
3(
−
x
)
2
=
x
4
+
3
x
2
Como
f
(
−
x
)
=
f
(
x
), es simétrica respecto del eje
Y
(simetría par).
Tiene simetría impar, porque, si se plegara
dos veces, una sobre el eje
X
y otra sobre el
eje
Y,
la gráfica coincidiría consigo misma. Es
periódica, de período 8, dado que cualquier
tramo de la gráfica que tenga amplitud 8 se
repite indefinidamente.
La función no es simétrica, ni con respecto al
eje
Y
ni con respecto al origen.
Tampoco es periódica, puesto que no existe
ningún tramo que se repita indefinidamente.
Tiene simetría par, porque, si se plegara sobre
el eje
Y,
la gráfica coincidiría consigo misma.
Sin embargo, no es periódica, al no presentar
ningún tramo que se repita indefinidamente.
Tiene simetría par, pues, si se plegara sobre el
eje
Y,
la gráfica coincidiría consigo misma. Es
periódica, de período 6, al repetirse la gráfica
en tramos de amplitud 6.
