Ecuaciones de segundo grado
Completas
Vamos a ver cómo se resuelve la ecuación
x
2
– 11
x
+ 30 = 0.
En primer lugar, identificamos los coeficientes:
a
= 1,
b
= –11,
c
= 30. A continuación, sustituimos estos valores en
la fórmula
x
=
–
b
±
b
2
– 4
ac
2
a
, y realizamos las operaciones:
x
=
11± ( –11 )
2
– 4 · 1 · 30
2
⋅
1
=
11± 121 – 120
2
=
11± 1
2
=
11± 1
2
→
x
=
11 + 1
2
→
x
= 6
x
=
11 – 1
2
→
x
= 5
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
Incompletas, sin el término independiente
Para resolver la ecuación
x
2
+ 3
x
= 0, primero extraemos x como factor común: x(x + 3) = 0
→
x
= 0
x + 3 = 0
→
x
= –3
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Incompletas, sin el término en
x
Para resolver la ecuación
x
2
– 25 = 0, en primer lugar, despejamos:
x
2
= 25
Finalmente, se extrae la raíz cuadrada, colocando delante el símbolo «más/menos»:
x
=± 25 =±5 . Por tanto, las
soluciones son
x
= –5 y
x
= 5.
Ecuaciones de primer grado
Vamos a ver cómo se resuelve esta ecuación: 2
x
+
4 –
x
4
+
3 ( 5 – 3
x
)
2
=
5 ( 6 – 7
x
)
8
+
9
x
– 2
2
1. Como tiene denominadores, multiplicamos los dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, 8:
8 · 2
x
+
4 –
x
4
+
3 ( 5 – 3
x
)
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
= 8 ·
5 ( 6 – 7
x
)
8
+
9
x
– 2
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2. En cada término, dividimos el mínimo común múltiplo entre el denominador, dejando el resultado delante del
término correspondiente, usando paréntesis si hay más de un sumando en el numerador, o si ya había paréntesis:
16
x
+ 2(4 –
x
) + 4 · 3(5 – 3
x
) = 5(6 – 7
x
) + 4(9
x
– 2)
3. Como delante de un paréntesis hay dos números multiplicándose, realizamos esta operación:
16
x
+ 2(4 –
x
) + 12(5 – 3
x
) = 5(6 – 7
x
) + 4(9
x
– 2)
4. Quitamos los paréntesis: 16
x
+ 8 – 2
x
+ 60 – 36
x
= 30 – 35
x
+ 36
x
– 8
5. Pasamos
las
x
al primer miembro y los números al segundo: 16
x
– 2
x
– 36
x
+ 35
x
– 36
x
= 30 – 8 – 8 – 60
6. Agrupamos
las x,
por un lado, y los números, por otro: –23
x
= –46
7.
Pasamos dividiendo
el coeficiente de
x
, incluyendo el signo, y efectuamos la división:
–23
x
= –46
→
x
=
–46
–23
→
x
= 2
ECUACIONES
