4
Equacions
72
4.
EQUACIONS BIQUADRADES
Lluc està inventant equacions i necessita saber quines són les solucions de:
x
4
−
16
=
0 i
x
4
−
4
x
2
=
0
Es tracta d’
equacions de quart grau
incompletes.
Per a resoldre-les utilitzem procediments que usem amb les equacions de segon
grau incompletes.
En l’equació:
x
4
−
16
=
0
1
Aïllem l’única incògnita:
x
4
=
16
Com que
x
està elevat a 4, és a dir, és una potència d’exponent parell, hi ha dos
valors possibles, un de positiu i un altre de negatiu, que verifiquen l’expressió.
2
Resolem l’equació:
x
= ±
16
4
= ±
2
Lluc podrà trobar dues solucions: 2 i
−
2.
En l’equació:
x
4
−
4
x
2
=
0
1
Extraiem factor comú:
x
2
x
2
−
4
(
)
=
0
Obtenim un producte amb resultat nul; així, almenys un dels factors ha de
ser igual a 0.
2
Resolem les equacions:
x
2
=
0
→
x
=
0
x
2
−
4
=
0
→
x
2
=
4
→
x
= ±
4
= ±
2
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
En aquest cas, obtindrà tres solucions: 0, 2 i
−
2.
Després, Lluc vol determinar les solucions d’aquestes altres equacions:
x
4
−
5
x
2
+
4
=
0 i
x
4
−
3
x
2
−
4
=
0
Aquestes
equacions
de quart grau són
de la forma
ax
4
+
bx
2
+
c
=
0.
Per a resoldre-
les, podem fer un
canvi de variable
amb el qual les transformem en equacions de
segon grau mitjançant les propietats de les potències:
p
=
x
2
→
p
2
=
x
2
( )
2
=
x
4
Així, per a resoldre les equacions:
x
4
−
5
x
2
+
4
=
0
x
4
−
3
x
2
−
4
=
0
1
Canviem la variable:
p
2
−
5
p
+
4
=
0
p
2
−
3
p
−
4
=
0
2
Resolem l’equació de segon grau que obtenim:
p
=
5
±
25 16
2
p
1
=
4
p
2
=
1
p
=
3
±
9
+
16
2
p
1
=
4
p
2
=
1
3
Desfem el canvi de variable amb cada solució:
x
2
=
4
→
x
= ±
4
= ±
2
x
2
=
1
→
x
= ±
1
= ±
1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
x
2
=
4
→
x
= ±
4
= ±
2
x
2
=
−
1
→
No té solució.
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Les solucions de
x
4
−
5
x
2
+
4
=
0 són 2,
−
2, 1,
−
1.
Les solucions de
x
4
−
3
x
2
−
4
=
0 són 2 i
−
2.
Les
equacions biquadrades
són les equacions de quart grau de la forma
ax
4
+
bx
2
+
c
=
0
, en què
a,
b
i
c
són nombres reals coneguts i
a
≠
0.
Per a resoldre-les, de primer es poden transformar amb un canvi de variable:
p
=
x
2
→
ap
2
+
bp
+
c
=
0
Després, es resol l’equació de segon grau i, finalment, es desfà el canvi per a
calcular les possibles solucions.
Para atenció
El nombre màxim de solucions
reals d’una equació coincideix
amb el seu grau.
Aprendràs a…
●
Reconéixer equacions
biquadrades.
●
Calcular les solucions d’una
equació biquadrada.
