Resolución de ecuaciones por factorización
Para resolver ecuaciones, como
x
3
– 7
x
– 6 = 0, aplicamos la regla de Ruffini con los divisores del término independiente:
±1, ±2, ±3, ±6, hasta conseguir que el resto sea cero. Si no sale cero, se descarta el número correspondiente:
1 0 –7 –6
1 0 –7 –6
1 1 1 –6
–1 –1 1 6
1 1 –6 –12 (Se descarta el 1).
1 –1 –6 0 (Uno de los factores será:
x
+ 1).
Como el resultado es un polinomio de grado 2, planteamos y resolvemos la ecuación de segundo grado asociada.
x
2
–
x
– 6 = 0
→
x
=
1± (–1 )
2
– 4· 1·(–6 )
2 · 1
=
1± 1 + 24
2
→
x
=
1 + 5
2
→
x
= 3
x
=
1 – 5
2
→
x
= –2
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
Entonces, la ecuación factorizada es: (
x
+ 1)(
x
– 3)(
x
+ 2) = 0 y las soluciones son:
x
= –2,
x
= –1 y
x
= 3
Ecuaciones bicuadradas
Son ecuaciones de cuarto grado que no tienen ni el término en
x
3
ni el término en
x.
Realizamos el cambio
de variable
x
2
=
p
para obtener una ecuación de segundo grado.
x
4
– 5
x
2
+ 4 = 0
→
p
2
– 5
p
+ 4 = 0. A continuación, resolvemos esta ecuación y deshacemos el cambio.
p
=
5 ± (–5 )
2
– 4· 1· 4
2 · 1
=
5 ± 25 – 16
2
→
p
= 4
→
x
2
= 4
→
x
=± 4 =±2
p
= 1
→
x
2
= 1
→
x
=± 1 =±1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
Ecuaciones de primer grado
2
x
+
4 –
x
4
+
3 ( 5 – 3
x
)
2
=
5 ( 6 – 7
x
)
8
+
9
x
– 2
2
Quitamos los denominadores…
… m.c.m. (4, 2, 8) = 8
8 · 2
x
+
4 –
x
4
+
3 ( 5 – 3
x
)
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= 8 ·
5 ( 6 – 7
x
)
8
+
9
x
– 2
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
16
x
+ 2(4 –
x
) + 12(5 – 3
x
) = 5(6 – 7
x
) + 4(9
x
– 2)
Quitamos los paréntesis.
16
x
+ 8 – 2
x
+ 60 – 36
x
= 30 – 35
x
+ 36
x
– 8
Pasamos las
x
a un miembro…
… y los números al otro.
16
x
– 2
x
– 36
x
+ 35
x
– 36
x
= 30 – 8 – 8 – 60
Agrupamos los términos…
… y despejamos la
x
.
–23
x
= –46
→
x
=
–46
–23
→
x
= 2
Ecuaciones de segundo grado
Completas:
ax
2
+
bx
+
c
= 0
Aplicamos la fórmula:
x
=
–
b
±
b
2
– 4
ac
2
a
x
2
– 11
x
+ 30 = 0
→
a
= 1,
b
= –11,
c
= 30
x
=
11± (–11 )
2
– 4· 1· 30
2 · 1
→
x
= 6
x
= 5
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Incompletas, con
c
= 0:
ax
2
+
bx
= 0
Extraemos
x
como factor común.
x
2
+ 3
x
= 0
→
x
(
x
+ 3 ) = 0
→
x
= 0
x
= –3
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Incompletas, con
b
= 0:
ax
2
+
c
= 0
Despejamos
x
2
.
x
2
– 25 = 0
→
x
2
= 25
→
x
=± 25 =±5
ECUACIONES
