23
NOMBRES I ÀLGEBRA
4.
Observa la llista de nombres que has obtingut. Quina operació cal fer per a calcular cada nombre a
partir de l’anterior?
5.
Té sentit la resposta anterior tenint en compte com
es construeixen les creus de la seqüència?
6.
Comptant des de la primera creu de la seqüència, quantes vegades
s’hauria de fer aquesta operació fins a arribar a la creu que ocupa
la posició 100 de la seqüència?
7.
Així doncs, quines operacions cal efectuar per a saber la quantitat de quadrats que formarien la creu
número 100 de la seqüència?
8.
Contesta la segona pregunta plantejada:
Pensa i contesta. Pots respondre a la segona pregunta del problema d’una altra manera diferent de la que
s’hi ha plantejat? Resol de nou, aquesta vegada sense indicacions.
■
■
}
Tin en compte
De vegades és important
valorar si la solució
a un problema
té sentit o no
a fi de detectar
possibles errors
o solucions no vàlides.
Els nombres que hem obtingut són els següents: 5 - 9 - 13 - 17
Si observem atentament aquesta seqüència de nombres, constatem que, per a calcular cada nombre, cal
sumar 4 a l’anterior:
5 + 4 = 9
9 + 4 = 13
13 + 4 = 17
...
Sí que té sentit perquè cada creu s’obté a partir de l’anterior,
afegint un quadrat en cada braç; com que hi ha 4 braços, cal
afegir-hi 4 quadrats.
Cal fer l’operació 99 vegades, perquè és la diferència que hi ha entre
100 i 1.
Cal multiplicar 99 per 4 i sumar el resultat obtingut a 5, que és el nombre de quadrats de la primera
creu.
Resolem l’expressió anterior i obtenim la resposta a la pregunta:
99
⋅
4
+
5
=
401
Per tant, la creu que ocuparia la posició 100 tindria 401 quadrats.
Podem resoldre el problema d’altres maneres, per exemple, aquesta:
• Els nombres que indiquen la quantitat de quadrats que formen cada creu constitueixen una successió
en la qual cada terme s’obté sumant a l’anterior la mateixa quantitat, 4.
• Així, es tracta d’una progressió aritmètica la diferència de la qual és
d
=
4 i el primer terme de la qual és
a
1
=
5.
• Aplicant la coneguda fórmula que proporciona el terme general d’una progressió aritmètica,
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1)
d
, i considerant
n
=
100, obtenim que:
•?
a
100
=
a
1
+
(100
−
1)
d
• Substituint els valors corresponents, resulta:
•?
a
100
=
5
+
(100
−
1)
⋅
4
•?
Així, concloem que
a
100
=
5
+
99
⋅
4
=
401
• D’aquesta manera, es pot contestar la segona pregunta dient que la creu que ocuparia la posició número
100 estaria formada per 401 quadrats.
