Com es treballa un bloc
3
Comprén i resol problemes
és un projecte d’Oxford University Press Espanya, l’objectiu del qual és ajudar l’alumne
a ser capaç d’utilitzar processos cognitius per a resoldre situacions problemàtiques de la vida real.
En aquest material de
3r ESO
els continguts es distribueixen en els blocs següents:
– Nombres i Àlgebra
– Geometria
– Funcions
– Estadística i Probabilitat
Cada bloc de continguts aborda la resolució de problemes seguint aquesta estructura:
•
Secció
Comprén la situació
, que fomenta la
competència lingüística
en treballar la
lectura
comprensiva dels enunciats
mitjançant diferents
estratègies:
• Què pregunten i quines dades tinc
• Dades de l’enunciat que no fan falta
• Formular preguntes
...
6
3
Llig elsenunciats següents i indica, en cada cas,quinesdadesno sónnecessàriespera resoldre cada
problema.
}
En un institut hi ha 920 alumnes. La setmana passada,
2
5
del total dels alumnes se’n van anar d’excursió.
Repartits en 6 autobusosde65 places cadascun, les tresquartespartsd’aquests alumnes se’n van anar
a la serra i, de la resta, lameitat va passar eldia a laplatja i l’altrameitat, en unmuseu.Quants alumnes
s’havien apuntat a l’excursió a la serra?
Lesdadesno necessàries són:
}
La tercerapartdels alumnesd’una autoescola té
menys de 23 anys i,d’aquests,
2
9
han suspés l’examen
teòric. Si56 alumnesmenors de 23 anyshan aprovat
l’examen, quants alumnesmenors de 23 anyshi ha
a l’autoescola?
Les dades no necessàries són:
}
Sílvia ha invertit35000€ enun nou negoci, repartits endiversos conceptes:
1
28
per al lloguerd’un
local,
1
7
pera l’equipament,
3
28
peradespesesadministratives,
3
140
peradespesesde subministrament
de llum i aigua, telèfon..., i la restaper a l’adquisició dels articlesque comercialitzarà.Quantsdiners s’ha
gastat en cadascun d’aquests conceptes?
Les dadesnonecessàries són:
}
La suma d’un nombre i el seudoble és igual a15,mentre que la sumad’aquestmateix nombre i el seu
quadrat és igual a 30.De quin nombre es tracta?
Lesdadesno necessàries són:
}
El producte d’un nombrepositiu i el seu consecutiu és igual a 650.Amés, els dos nombres tenen
2 desenes.Quinsnombres són?
Lesdadesno necessàries són:
Elnombred’autobusos i lesplacesque tenen. Tampoc ésnecessari saberon vananar elsalumnesqueno van
estara la serra,ni com es van repartir entre laplatja i elmuseu,perquèaquestesdadesno s’utilitzenper
a contestar lapregunta.
El fetque elsalumnesmenorsde23anys representen la
tercerapartdel totald’alumnesde l’autoescola, jaque el
totald’alumnesno ésnecessaripera contestar lapregunta.
Totes lesdades sónnecessàriespera respondrea lapreguntaplantejada,perquè lesúniquesdades
aportades són el capital invertit i lapartd’aquestque esdestinaals conceptespelsquals espregunta.
La relacióque hi ha entre elnombre i el seuquadratperquè, sabentque elnombre i el seudoble sumen 15, ja
podemplantejaruna equacióambunaúnica incògnita la solucióde laqual siga elnombrebuscat.
Ladadaque faal·lusióal fetque elsdosnombres tenen2desenes,perquè en resoldre l’equacióde segon
grau,només hi hauna soluciópositivaque resol elproblema.
24
20
Resolelproblema següentpas apas.
}
Jordi té estalviats 640 €més queAlmudena. Si almes Jordi estalvia 80 € iAlmudena 30 €, d’ací a dos
anys Jordi tindrà estalviat el triple de diners queAlmudena.Quants diners tenen estalviats cadascun
actualment?
1.
Tria una lletra per a indicar la quantitat dediners que té estalviats Jordi iuna altra per a designar els
estalvisd’Almudena:
2.
Escriuuna equacióque relacione aquestes lletres a partir de la primera
dadade l’enunciat:
3.
Quants diners tindrà Jordimés al cap de dos anys si estalvia 80 € cadames?
4.
Escriu l’expressió algebraicaque indica els diners totalsque Jordi tindrà estalviats al capde dos anys si
estalvia80 € almes:
5.
Repeteix el procés en el casd’Almudena: si estalvia 30€ almesdurant dos anys,quants dinersmés
tindrà estalviats?Quina expressió algebraica indica la quantitat total de diners estalviatsque tindrà
Almudena al cap de dos anys?
6.
Escriu l’equacióque relaciona els estalvis totals que tindran en
passar els dos anys, considerant la dadade l’enunciat que indica
que Jordi n’haurà reunit el triple queAlmudena:
■
■
}
Tin en compte
Quinade lesdues
quantitatshade sermés
gran?
■
■
}
Tin en compte
Recordadenou,
quinade lesdues
quantitatsha
de sermésgran?
Jordi té
x
euros estalviats;Almudena té
y
euros.
Cal sumar els estalvisque téara i elsque tindràal capdedosanys:
x
+
1920.
x
=
y
+
640
Comqueunany té 12mesos,dosanys són24mesos.Aixídoncs, si Jordi estalvia80€almes,al cap
dedosanys tindrà 1920€més,perquè80
⋅
24
=
1920.
Al finaldelsdosanys estalviarà 720€,perquè24
⋅
30
=
720.
Segonsaixò, l’expressióalgebraicaque indica laquantitat totaldedinersque tindrà estalviats és
y
+
720.
Pera indicarque Jordi tindrà el triplededinersqueAlmudena, igualem
els estalvisde Jordialsd’Almudenamultiplicatsper3.
Ésadir:
x
+
1920
=
3(
y
+
720)
13
NOMBRES IÀLGEBRA
10
A continuació,esmostra la resoluciód’unproblema,peròelspassos seguitsestandesordenats.
Ordena’ls correctament.
}
En ungaratge hiha estacionats dos tipus
de vehicles: camionsde6 rodes i furgonetes
de 4 rodes. En total són 17 vehicles
i 92 rodes.Quants camions iquantes furgonetes
hiha algaratge?
Per tant, tenim el següent
sistemad’equacions:
x
+
y
=
17
6
x
+
4
y
=
92
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Finalment, substituïm el valor de
y
enuna de les
equacions del sistema (laprimeraper ser lamés senzilla)
i calculem l’altra incògnita:
x
+
y
=
17
x
+
5
=
17
x
=
12
Per tant, com que
x
=
12, hi ha12 camions.
Anomenem x el nombre de camions i
y
el nombre
de furgonetes.
Comque en total hiha17 vehicles, es compleix que:
x
+
y
=
17
Resolem el sistemapelmètode de reducció. Per a fer-ho,
multipliquem tots els coeficientsde laprimera equacióper3
a fi d’obtenir elmateix coeficient en la incògnita
x
.
Posteriorment, restem lesdues equacionsperquè desaparega
la incògnita
x
.Així, resulta:
x
+
y
=
17
3
x
+
2
y
=
46
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
→
3
x
+
3
y
=
51
3
x
+
2
y
=
46
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
→
y
=
5
Per tant, comque
y
=
5,hi ha5 furgonetes.
De lamateixamanera,
comque hiha
y
furgonetes
i cadascuna té 4 rodes,
el nombre total de rodes
de furgoneta és 4
y
.
Solució:
Algaratgehi ha
12 camions i 5 furgonetes.
Aixídoncs, comque en total
hiha92 rodes,ha de complir-se
l’equació: 6
x
+
4
y
=
92
D’altrabanda, ja
que cada camió té6 rodes
i hiha
x
camions, el nombre
total de rodesde camió és6
x
.
Abansde resoldre, simplifiquem la segona equació, dividint tots els coeficientsper2:
x
+
y
=
17
3
x
+
2
y
=
46
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
5
8
3
9
4
2
6
1
7
•
Secció
Tria un pla
, que desenvolupa el
sentit
d’iniciativa i emprenedoria
en mostrar diferents
plans de treball
per a la resolució de problemes.
•
Secció
Resol i comprova
, que brinda als alumnes
l’oportunitat de treballar la
competència digital
mitjançant el
tractament adequat de la
informació
, així com ser una
guia en la resolució
sense oblidar la
comprovació de la solució
obtinguda.
