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La aplicación que hace que cada individuo de un conjunto se corresponda
con su altura es una función de en .
Sin embargo, la correspondencia inversa a este ejemplo no es una función,
ya que varios individuos pueden tener una misma altura.
Dada una función,
f,
para cada valor
x A,
existe un único elemento
y f
(
x
)
B
. La afirmación inversa no siempre es cierta.
Si
f: A
→
B
y
A
y
B
son subconjuntos de , la función se denomina
función real de
variable real.
Por ejemplo, la aplicación que asigna a cada número real su raíz cúbica es
una función real de variable real.
La aplicación que asigna al consumo de agua de una vivienda el valor de
su factura es una función real de variable real. Fíjate en que un mismo consumo
no puede tener dos facturas distintas.
En general, en la expresión de una función cualquiera no se suele indicar
en qué subconjunto,
A,
está definida, ni cuál es el subconjunto,
B,
de todos
los posibles valores o imágenes que puede tomar dicha función. Estas caracte-
rísticas de las funciones deberán determinarse, en cada caso, teniendo en
cuenta tanto el tipo de función como la forma en la que se exprese.
El
dominio
de una función es el conjunto original de la aplicación. En una función
real de variable real,
f
(
x
), el dominio es el subconjunto
A
formado por todos los
elementos
x
que tienen imagen
y f
(
x
).
Dom
f
{
x
⏐
y f
(
x
)
}
Por ejemplo, en la función real de variable real
f
(
x
) 1/
x,
dado que no
existe 1/0, Dom
f
{0}.
En la función definida en la página anterior mediante la tabla que rela-
ciona la altura sobre el nivel del mar con la presión, el dominio es un
subconjunto de .
El
recorrido
o
imagen
de una función es el conjunto imagen de la aplicación.
En una función real de variable real,
f
(
x
), el recorrido o imagen es el subconjunto
B
formado por todos los elementos
y
para los cuales existe al menos un
elemento
x
del dominio tal que
f
(
x
)
y
, es decir,
B f
(
A
).
Rec
f
{
y
⏐
x
Dom
f
con
f
(
x
)
y
}
Esto es lo mismo que decir que el recorrido de una función es el subcon-
junto
B
formado por todos los elementos
y
que tienen
antiimagen
x f
1
(
y
). El recorrido es el conjunto de todos los posibles valores de
y f
(
x
).
De ahora en adelante nos referiremos a las funciones reales de variable
real simplemente como funciones.
Símbolo
∀
⏐
Significado
Para todo
Pertenece a
Existe un
Incluido en
Tal que
NOTACIÓN MATEMÁTICA
conjunto
original
conjunto
imagen
aplicación
dominio
recorrido
o imagen
función
OBSERVA
La imagen de un original
x,
y f
(
x
), si existe, es única. La antii-
magen
x f
1
(
y
) es el conjunto
de elementos del dominio de la
función con la misma imagen; por
tanto, no tiene por qué ser única.
Por ejemplo, dada la función
f
(
x
)
x
2
, tenemos que:
f
1
(4) { 2, 2}
puesto que ( 2)
2
2
2
4.
