58
¿QUÉ
4
tienes que saber
?
Resuelve la ecuación:
x
−
1
4
−
x
+
5
9
=
x
−
5
36
1
Para eliminar los denominadores, multiplicamos por su mínimo común múltiplo:
m.c.m. (4, 9, 36)
=
36
x
−
1
4
−
x
+
5
9
=
x
−
5
36
→
9(
x
−
1)
−
4(
x
+
5)
=
x
−
5
2
Resolvemos los paréntesis y reducimos los términos semejantes:
9
x
−
9
−
4
x
−
20
=
x
−
5
→
5
x
−
29
=
x
−
5
3
Transponemos los términos y despejamos: 5
x
−
x
=
29
−
5
→
4
x
=
24
→
x
=
6
Ecuaciones de primer grado
Ten en cuenta
Una
ecuación de primer grado
es
una igualdad de dos
miembros
que
puede expresarse de la forma:
ax
+
b
=
0
donde
a
y
b
son números conocidos,
a
≠
0, llamados
coeficientes
de la
ecuación, y
x
es la
incógnita,
el valor
desconocido.
Halla las soluciones de estas ecuaciones:
a)
x
2
−
13
x
+
36
=
0
b)
(
x
+
3)(
x
−
2)
=
0
c)
x
2
+
8
x
+
16
=
0
d)
x
2
−
49
=
0
a)
Aplicamos la fórmula:
x
=
13
±
169 4 1 36
2 1
=
13
±
15
2
x
1
=
9
x
2
=
4
b)
Igualamos a cero cada factor:
x
+
3
=
0
x
−
2
=
0
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Resolvemos las ecuaciones:
x
+
3
=
0
→
x
1
=
−
3
x
−
2
=
0
→
x
2
=
2
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
c)
Identificamos el cuadrado de un binomio: (
x
+
4)
2
=
0
Resolvemos la ecuación:
x
+
4
=
0
→
x
1
=
−
4
d)
Identificamos una diferencia de cuadrados:
x
2
−
7
2
=
0
La expresamos como una suma por una diferencia: (
x
+
7)(
x
−
7)
=
0
Resolvemos las ecuaciones:
x
+
7
=
0
→
x
1
=
−
7
x
−
7
=
0
→
x
2
=
7
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Ecuaciones de segundo grado
Ten en cuenta
Una
ecuación de segundo grado
es
una igualdad que puede expresarse
de la forma:
ax
2
+
bx
+
c
=
0
donde
a, b
y
c
son números
conocidos,
a
≠
0, llamados
coeficientes
de la ecuación, y
x
es la
incógnita,
el valor desconocido.
Las soluciones se pueden obtener
mediante la fórmula:
x
=
−
b
±
b
2
−
4
ac
2
a
Calcula, sin resolverlas, el número de soluciones de las ecuaciones:
a)
x
2
−
13
x
+
36
=
0
b)
x
2
−
10
x
+
25
=
0
c)
x
2
+
x
+
5
=
0
a)
∆
=
(
−
13)
2
−
4
⋅
1
⋅
36
=
169
−
144
=
25
>
0, luego la ecuación tiene dos soluciones.
b)
∆
=
(
−
10)
2
−
4
⋅
1
⋅
25
=
100
−
100
=
0, luego la ecuación tiene una solución.
c)
∆
=
1
2
−
4
⋅
1
⋅
5
=
1
−
20
=
−
19
<
0, luego la ecuación no tiene soluciones.
Número de soluciones de una ecuación de segundo grado
Ten en cuenta
El discriminante de la ecuación
ax
2
+
bx
+
c
=
0 es
∆
=
b
2
−
4
ac
.
❚❚
Si
∆
>
0 tiene dos soluciones.
❚❚
Si
∆
=
0 tiene una solución.
❚❚
Si
∆
<
0 no tiene soluciones.
Halla las soluciones de estas ecuaciones incompletas.
a)
3
x
2
−
48
=
0
b)
5
x
2
+
35
x
=
0
a)
b
=
0
→
Despejamos la incógnita: 3
x
2
=
48
→
x
2
=
16
Resolvemos la ecuación:
x
2
=
16
→
x
=
±
4
b)
c
=
0
→
Extraemos factor común: 5
x
2
+
35
x
=
0
→
5
x
(
x
+
7)
=
0
Resolvemos las ecuaciones:
5
x
=
0
→
x
=
0
x
+
7
=
0
→
x
=
−
7
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Ten en cuenta
Una ecuación de segundo grado
incompleta, es una ecuación de la
forma
ax
2
+
bx
+
c
=
0 en la que
a
≠
0 y sin embargo, alguno de los
coeficientes,
b
o
c
, es nulo.
