27
11
Funciones
232
11
Funciones
La
tasa de variación
de una función continua en un intervalo [
a, b
] es el valor:
TV
[
a, b
]
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
La tasa de variación nos informa de cómo varía la función en ese intervalo y se escribe:
TV
[
a, b
]
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
AVANZA
A1.
Halla la tasa de variación en el intervalo [1, 3] de
la función
f
(
x
)
=
2
x
−
1. ¿Cómo es la función en
este intervalo: creciente o decreciente?
A2.
Determina la tasa de variación de la función
f
(
x
)
=
2
−
x
en el intervalo [
−
2,
−
1]. Razona
cómo es la función en este intervalo: creciente o
decreciente.
A3.
Calcula la tasade variaciónenel intervalo [
−
1,3]
de las funcionesque sepresentanacontinuación.
a)
f
(
x
)
=
x
+
2
b)
f
(
x
)
=
−
x
2
−
4
x
−
2
c)
f
(
x
)
=
2
¿Hay alguna que sea decreciente?
FUNCIONES EN LOS MEDIOS DE COMUNICACIÓN
Tasa de variación de una función en un intervalo
Un hecho de trascendencia para la
historia es la gran crisis económica y
mundialque sedesatóenelaño2008.
En todas las funciones relacionadas
conelconsumodebienesyservicios, la
actividad laboral, los servicios sociales,
etc.,destacan las cifrasdeeseaño.
El coche ha sido siempre el artículo
de consumoporexcelencia.Lagráfica
representa las cifras de ventas de
coches en España entre los años 1997
y2012,enmilesdeunidades.Observa
que en el año 2008 hubo una caída
en las ventas con respecto al año
anterior.
F1.
Fíjate en la gráfica y responde: ¿Cuántos coches se
vendieronen losaños2003 y2004?¿Enquéperíodos
hubo un aumento de las ventas?
F2.
Elabora un informe sobre las ventas de coches en
Españaentre losaños2000y2010 indicandoenqué
intervalos seprodujeronmayores variaciones.
Si la función es creciente:
f
(
b
)
−
f
(
a
) > 0
TV
[
a, b
] > 0
Si la función es decreciente:
f
(
b
)
−
f
(
a
) < 0
TV
[
a, b
] < 0
Si la función es constante:
f
(
b
)
−
f
(
a
)
=
0
TV
[
a, b
]
=
0
O
a
b
f
(
a
)
f
(
b
)
X
Y
1073
O
1997
600
2008
X
Y
1263
1498
1565 1509
1489 1464
1612
1648 1635 1615
1161
955 985
811
700
O
a
b
f
(
b
)
f
(
a
)
X
Y
O a
b
f
(
a
) =
f
(
b
)
X
Y
Sugerencias didácticas
En esta sección se introduce el concepto y el procedimiento
de cálculo de la tasa de variación de una función continua
en un intervalo.
El aprendizaje de qué es la tasa de variación y cuál es la re-
lación entre su valor y la monotonía de una función se debe
introducir mediante ejemplos gráficos de funciones.
Pondremos especial atención en el cálculo de tasas de varia-
ción en intervalos cuyos extremos sean números negativos.
Soluciones de las actividades
A1.
Halla la tasa de variación en el intervalo [1, 3] de la
función
f
(
x
)
=
2
x
−
1. ¿Cómo es la función en este
intervalo: creciente o decreciente?
TV
[1, 3]
=
f
(3)
−
f
(1)
=
5
−
1
=
4
>
0
Es creciente
A2.
Determina la tasa de variación de la función
f
(
x
)
=
2
−
x
en el intervalo [
−
2,
−
1] . ¿Cómo es la función en este
intervalo: creciente o decreciente?
TV
[
−
2,
−
1]
=
f
(
−
1)
−
f
(
−
2)
=
3
−
4
=
−
1
<
0
Es decreciente
A3.
Calcula la tasa de variación en el intervalo [
−
1, 3] de las funciones que se presentan a continuación.
a)
f
(
x
)
=
x
+
2
b)
f
(
x
)
=
−
x
2
−
4
x
−
2
c)
f
(
x
)
=
2
¿Hay alguna que sea decreciente?
a)
TV
[
−
1, 3]
=
f
(3)
−
f
(
−
1)
=
5
−
1
=
4
>
0
c)
TV
[
−
1, 3]
=
f
(3)
−
f
(
−
1)
=
2
−
2
=
0
b)
TV
[
−
1, 3]
=
f
(3)
−
f
(
−
1)
=
−
7
−
1
=
−
8
<
0 Decreciente
Funciones en los medios de comunicación
Sugerencias didácticas
Como cierre de la unidad podríamos plantear la actividad de esta sección como un reto periodístico, en el que los alumnos
deben escribir un artículo aportando los datos de las preguntas planteadas. Al observar el gráfico deberán ser capaces de rela-
cionar lo estudiado en la unidad con la información extraída de un medio de comunicación. Se debe insistir en la importancia
de tener una cultura matemática para tratar aspectos del mundo empresarial.
Soluciones de las actividades
F1.
Fíjate en la gráfica y responde: ¿Cuántos coches se vendieron en los años 2003 y 2004? ¿En qué períodos hubo un au-
mento de las ventas?
Se vendieron 1612000
+
1464000
=
3076000 coches
Hubo aumento de ventas de 1997 a 2000, de 2003 a 2005 y de 2009 a 2010.
F2.
Elabora un informe sobre las ventas de coches en España entre los años 2000 y 2010 indicando en qué intervalos se pro-
dujeron mayores variaciones.
Año
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
N.º de coches (en mill.)
1,565 1,509 1,489 1,464 1,612 1,648 1,635 1,615 1,161 0,955 0,985
Del año 2003 al 2005 se produjo un importante aumento en las ventas pero fue en 2008 donde se produjo una reducción
en las ventas de 454000 coches, respecto al año anterior.
Avanza. Tasa de variación de una función en un intervalo
