NÚMEROS Y ÁLGEBRA
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4.
Observa la lista de números que has obtenido. ¿Qué operación hay que hacer para calcular cada
número a partir del anterior?
5.
¿Tiene sentido la respuesta anterior teniendo en cuenta cómo se
construyen las cruces de la secuencia?
6.
Contando desde la primera cruz de la secuencia, ¿cuántas veces se
tendría que realizar esa operación, hasta llegar a la cruz que ocupa
la posición 100 de la secuencia?
7.
Así pues, ¿qué operaciones hay que efectuar para averiguar la cantidad de cuadrados que formarían la
cruz número 100 de la secuencia?
8.
Contesta a la segunda pregunta planteada:
Piensa y contesta. ¿Puedes responder a la segunda pregunta del problema de otra forma diferente a la
que aquí se ha planteado? Resuelve de nuevo, esta vez sin indicaciones.
■
■
}
Ten en cuenta
En ocasiones es
importante valorar si la
solución a un problema
tiene sentido o no con
objeto de detectar
posibles errores o
soluciones no válidas.
Los números que hemos obtenido son los siguientes: 5 – 9 – 13 – 17
Si observamos atentamente esta secuencia de números, constatamos que, para calcular cada número, hay
que sumar 4 al anterior:
5 + 4 = 9
9 + 4 = 13
13 + 4 = 17
…
Sí tiene sentido porque cada cruz se obtiene a partir de la anterior,
añadiendo un cuadrado en cada brazo; como hay 4 brazos, hay que
añadir 4 cuadrados.
Hay que realizar la operación 99 veces, porque es la diferencia que hay
entre 100 y 1.
Hay que multiplicar 99 por 4 y sumar el resultado obtenido a 5, que es el número de cuadrados de la
primera cruz.
Resolvemos la expresión anterior y obtenemos la respuesta a la pregunta:
99
⋅
4
+
5
=
401
Por tanto, la cruz que ocuparía la posición 100 tendría 401 cuadrados.
Podemos resolver el problema de otras maneras, por ejemplo esta:
• Los números que indican la cantidad de cuadrados que forman cada cruz constituyen una sucesión en la
que cada término se obtiene sumando al anterior la misma cantidad, 4.
• Así pues, se trata de una progresión aritmética cuya diferencia es
d
=
4 y cuyo primer término es
a
1
=
5.
• Aplicando la conocida fórmula que proporciona el término general de una progresión aritmética,
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1)
d
, y considerando
n
=
100, obtenemos que:
•
a
100
=
a
1
+
(100
−
1)
d
• Sustituyendo los valores correspondientes, resulta:
•
a
100
=
5
+
(100
−
1)
⋅
4
•
De donde concluimos que
a
100
=
5
+
99
⋅
4
=
401
• De este modo, se puede contestar a la segunda pregunta diciendo que la cruz que ocuparía la posición
número 100 estaría formada por 401 cuadrados.
