Cómo se trabaja un bloque
3
Comprende y resuelve problemas
es un proyecto de Oxford University Press España, cuyo objetivo es ayudar al
alumno a ser capaz de utilizar procesos cognitivos para resolver situaciones problemáticas de la vida real.
En este material de
3.º ESO
los contenidos se distribuyen en los siguientes bloques:
– Números y Álgebra
– Geometría
– Funciones
– Estadística y Probabilidad
Cada bloque de contenidos aborda la resolución de problemas siguiendo esta estructura:
•
Sección
Comprende la situación,
que fomenta
la
competencia lingüística
al trabajar la
lectura
comprensiva de los enunciados
mediante diferentes
estrategias:
• Qué preguntan y qué datos tengo
• Datos del enunciado que no hacen falta
• Formular preguntas
…
6
3
Lee los siguientesenunciados e indica, en su caso,quédatosno sonnecesariospara resolver cada
problema.
}
En un instituto hay 920 alumnos. La semana pasada,
2
5
del total de los alumnos se fueron de excursión.
Repartidos en 6 autobuses de 65 plazas cada uno, las tres cuartaspartesde estos alumnos se fueron a la
sierra y, del resto, lamitad pasó eldía en la playa y la otramitad en unmuseo. ¿Cuántos alumnos se
habían apuntado a la excursión a la sierra?
Los datos no necesarios son:
}
La tercera parte de los alumnosde una autoescuela tiene
menos de 23 años y, de ellos,
2
9
suspendieron el examen
teórico. Si56 alumnosmenoresde23 años aprobaron este
examen, ¿cuántos alumnosmenores de 23 años hay en la
autoescuela?
Losdatosnonecesarios son:
}
Sheilaha invertido 35000€ en un nuevonegocio, repartidos en varios conceptos:
1
28
para el alquiler de
un local,
1
7
para el equipamiento,
3
28
para gastos administrativos,
3
140
para gastosde suministrode luz
y agua, teléfono…, y el restopara la adquisiciónde los artículos que va a comercializar. ¿Cuánto dinero se
hagastado en cada uno de estos conceptos?
Losdatosno necesarios son:
}
La suma deun número y su doble es igual a15,mientras que la suma de esemismo número y su
cuadrado es igual a30. ¿Dequé número se trata?
Los datos no necesarios son:
}
Elproducto deun número positivo y su consecutivo es igual a 650.Además, los dos números tienen
2decenas. ¿Qué números son?
Los datos no necesarios son:
Elnúmerodeautobuses y lasplazasque tienen. Tampoco esnecesario saberdónde fueron losalumnosque
no estuvieron en la sierra,ni cómo se repartieron entre laplaya y elmuseo,porque estosdatosno seutilizan
para contestar lapregunta.
El hechodeque losalumnosmenoresde23años representan
la tercerapartedel totaldealumnosde laautoescuela,
dadoque el totaldealumnosno esnecesariopara contestar
lapregunta.
Todos losdatos sonnecesariospara respondera lapreguntaplanteada,porque losúnicosdatosaportados
son el capital invertido y lapartedelmismoque sedestinaa los conceptospor losque sepregunta.
La relación existente entre elnúmero y su cuadrado,porque, sabiendoque elnúmero y sudoble suman 15, ya
podemosplantearuna ecuación conuna sola incógnita cuya solución sea elnúmerobuscado.
Eldatoquemencionaque losdosnúmeros tienen2decenas,porqueal resolver la ecuaciónde segundogrado,
solo existeuna soluciónpositivaque resuelve elproblema.
24
20
Resuelveel siguienteproblemapasoapaso.
}
José tiene ahorrados 640€más queAlmudena. Si almes José ahorra 80 € yAlmudena 30 €, dentro de
dos años José tendrá ahorrado el triplequeAlmudena. ¿A cuánto ascienden los ahorros actualesde cada
uno de ellos?
1.
Elige una letra para indicar la cantidadde dineroque tiene ahorrado José yotra para designar los
ahorrosdeAlmudena:
2.
Escribe una ecuación que relacione estas letras a partir del primer dato
del enunciado:
3.
¿Cuánto dineromás tendrá José al cabo de dos años si ahorra 80 € cadames?
4.
Escribe la expresión algebraica que indica eldinero totalque José tendrá ahorrado al cabodedos
años si ahorra 80 € almes:
5.
Repite elproceso en el caso deAlmudena: si ahorra 30€ almes durantedos años, ¿cuántodinero
más tendrá ahorrado? ¿Qué expresión algebraica indica la cantidad totalde dinero ahorrado que
tendráAlmudena al cabo de esos dos años?
6.
Escribe la ecuación que relaciona los ahorros totalesque tendrán al
finalizar los dos años, considerando eldato del enunciadoque indica
que José habrá reunido el triple queAlmudena:
■
■
}
Ten en cuenta
¿Cuálde lasdos
cantidadesdebe ser
mayor?
■
■
}
Ten en cuenta
Recuerdadenuevo,
¿cuálde lasdos
cantidadesdebe ser
mayor?
José tiene
x
eurosahorrados;Almudena tiene
y
euros.
Hayque sumar losahorrosque tieneahora y losque tendráal cabodedosaños:
x
+
1920.
x
=
y
+
640
Comounaño tiene 12meses,dosaños son24meses.Asípues, si Joséahorra80€almes,al cabodedos
años tendrá 1920€más,porque80
⋅
24
=
1920.
Al términode losdosañosahorrará 720€,porque24
⋅
30
=
720.
Según esto, la expresiónalgebraicaque indica la cantidad totaldedineroque tendráahorrado es
y
+
720.
Para indicarque José tendrá el triplededineroqueAlmudena,
igualamos losahorrosde Joséa losdeAlmudenamultiplicadospor3.
Esdecir:
x
+
1920
=
3(
y
+
720)
NÚMEROS YÁLGEBRA
13
10
A continuación, semuestra la resolucióndeunproblema,pero lospasos seguidos están
desordenados.Ordénalos correctamente.
}
En ungaraje hay estacionados dos tipos de
vehículos: camiones de 6 ruedas y furgonetas
de 4 ruedas. En total son 17 vehículos
y92 ruedas. ¿Cuántos camiones y cuántas
furgonetas hay en el garaje?
Por tanto, tenemos el
siguiente sistema de ecuaciones:
x
+
y
=
17
6
x
+
4
y
=
92
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Por último, sustituimos el valor de
y
en una de las
ecuacionesdel sistema (la primera por ser lamás sencilla)
y calculamos la otra incógnita:
x
+
y
=
17
x
+
5
=
17
x
=
12
Por tanto, como
x
=
12, hay 12 camiones.
Llamemos x al número de camiones e
y
al númerode
furgonetas.
Como en total hay 17 vehículos, se cumple que:
x
+
y
=
17
Resolvemos el sistema por elmétodo de reducción. Para
ello,multiplicamos todos los coeficientes de la primera
ecuación por 3 a finde conseguir elmismo coeficiente en la
incógnita
x
.
Posteriormente, restamos las dos ecuaciones para que
desaparezca la incógnita
x
.Así, resulta:
x
+
y
=
17
3
x
+
2
y
=
46
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
→
3
x
+
3
y
=
51
3
x
+
2
y
=
46
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
→
y
=
5
Por tanto, como
y
=
5, hay 5 furgonetas.
Delmismomodo,dado que
hay
y
furgonetas y cada una de
ellas tiene 4 ruedas, el número
total de ruedas de furgoneta es
4
y
.
Solución:
En el garajehay
12 camiones y 5 furgonetas.
Asípues, como en total hay
92 ruedas, tiene que cumplirse la
ecuación: 6
x
+
4
y
=
92
Porotro lado, puesto que
cada camión tiene 6 ruedas y hay
x
camiones, el número total de
ruedas de camión es 6
x
.
Antes de resolverlo, simplificamos la segunda ecuación,dividiendo todos los coeficientes por 2:
x
+
y
=
17
3
x
+
2
y
=
46
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
5
8
1
7
3
9
4
2
6
•
Sección
Elige un plan,
que desarrolla el
sentido
de iniciativa y emprendimiento
al mostrar
diferentes
planes de trabajo
para la resolución
de problemas.
•
Sección
Resuelve y comprueba,
que brinda
a los alumnos la oportunidad de trabajar la
competencia digital
mediante el
tratamiento
adecuado de la información,
así como
ser una
guía en la resolución
sin olvidar la
comprobación de la solución
obtenida.
