26
24
Resol el problema que et proposem, seguint els passos indicats.
Una habitació rectangular fa 4 m i 55 cm de llarg i 3 m i 15 cm d’ample. Es vol enllosar el terra amb rajoles
quadrades de la màxima grandària possible, de manera que no calga retallar-ne cap. Quant ha de mesurar
cada rajola?
1.
Dibuixa un esquema de l’habitació i expressa’n les dimensions en centímetres.
2.
Perquè no calga retallar cap rajola, quina relació ha d’haver-hi entre la mesura del costat de les rajoles
i la llargària de l’habitació, expressada en centímetres?
3.
Tenint en compte aquesta relació amb la llargària de l’habitació, fes la llista de les mesures que, en
principi, podria tenir el costat de les rajoles.
4.
De la mateixa manera, perquè no calga retallar cap rajola, quina relació ha d’haver-hi entre la mesura
del costat i l’amplària de l’habitació, expressada en centímetres?
5.
Tenint en compte aquesta relació amb l’amplària de l’habitació, fes la llista de les mesures que, en principi,
podria tenir el costat de les rajoles.
6.
Els nombres que es repeteixen en les dues llistes es corresponen amb les possibles mesures del costat
de les rajoles. Quins són aquests nombres?
7.
Com que les rajoles han de ser tan grans com siga possible, cal triar el nombre més gran dels anteriors:
8.
Solució i comprovació:
Imagina que has obtingut un resultat negatiu. És possible?
Se t’ocorre alguna altra manera de calcular la mesura del costat de les rajoles? Quin concepte hi has
d’utilitzar? Resol el problema.
Perquè no calga retallar rajoles, cal que càpia una quantitat exacta de rajoles en els
455 cm que té de llarg l’habitació. El costat de la rajola, per tant, ha de ser un divisor de 455.
Les mesures del costat de les rajoles podrien ser els divisors de 455, que són 1, 5, 7, 13, 35, 65, 91 i 455.
La grandària del costat de les rajoles ha de ser un divisor de 315, que és l’ample de l’habitació en centímetres.
Les mesures del costat de les rajoles podrien ser els divisors de 315: 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105 i 315.
Són els nombres 1, 5, 7 i 35.
35
El costat ha de mesurar 35 cm.
No és possible, ja que la longitud d’un costat no pot ser negativa.
Perquè no calga retallar cap rajola, aquestes han de cabre exactament tant al llarg com a l’ample de l’habitació.
La mesura del costat ha de ser un divisor comú de 455 i 315. Com que, a més, les rajoles han de ser de la
màxima grandària possible, cal esbrinar el més gran dels divisors comuns, és a dir, el màxim comú divisor. Així,
descomponem aquests dos nombres en factors primers:
455
=
5
⋅
7
⋅
13 i 315
=
3
2
⋅
5
⋅
7
Prenem els factors comuns amb un exponent més xicotet: MCD (455, 315)
=
5
⋅
7
=
35
D’aquesta manera, la mesura del costat de les rajoles ha de ser de 35 cm.
