4
Ecuaciones
82
AVANZA
Ecuaciones racionales
Las
ecuaciones racionales
son aquellas en las que la incógnita aparece en el denominador.
Por ejemplo, una ecuación racional es:
1
x
−
6
+
x
x
−
2
=
4
x
2
−
8
x
+
12
Para su resolución, descomponemos factorialmente los denominadores:
x
−
6
x
−
2
x
2
−
8
x
+
12
=
(
x
−
2)(
x
−
6)
Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por su mínimo común múltiplo para eliminar denominadores:
m.c.m.
x
−
6,
x
−
2,
x
2
−
8
x
+
12
(
)
=
x
2
−
8
x
+
12
→
x
−
2
+
x x
−
6
(
)
=
4
→
x
−
2
+
x
2
−
6
x
=
4
Resolvemos la ecuación resultante:
x
2
−
5
x
−
6
=
0
→
x
=
5
±
25
+
24
2
=
5
±
7
2
=
x
1
=
6
x
2
=
−
1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Comprobamos que la solución
x
1
=
6 anula algunos denominadores de la ecuación que queremos resolver. Por
tanto, la única solución de
1
x
−
6
+
x
x
−
2
=
4
x
2
−
8
x
+
12
es:
x
=
−
1
A1.
Resuelve las ecuaciones racionales.
a)
x
+
1
x
−
2
=
x
−
2
x
−
4
b)
2
1
−
x
=
4
x
−
x
2
c)
5
x
−
x
x
−
1
=
1
x
2
−
x
d)
x
x
−
2
+
1
x
+
2
=
2
x
x
2
−
4
A2.
Halla las soluciones de estas ecuaciones.
a)
x
x
−
2
+
x
x
+
1
=
2
b)
1
−
8
3
+
x
=
x
2
−
1
x
2
−
9
c)
x
+
1
x
−
2
+
x
−
2
x
+
1
=
x
+
4
x
2
−
x
−
2
d)
1
x
2
−
1
+
5
x
−
1
=
4
x
x
2
+
x
−
2
CÁLCULO MENTAL
Estrategia para AVERIGUAR UN NÚMERO
❚
Piensa un número positivo.
❚
Súmale 2.
❚
Eleva el resultado al cuadrado.
❚
Réstale ahora el cuádruplo del número siguiente al que pensaste al principio.
❚
Si me dices qué número has obtenido, yo averiguo el número que has pensado.
¿Cómo podemos saber qué número se había pensado?
Si este número es
x,
entonces:
Le sumamos 2:
x
+
2
Elevamos el resultado al cuadrado y obtenemos:
x
+
2
(
)
2
=
x
2
+
4
x
+
4
Restamos el cuádruplo del número siguiente:
x
2
+
4
x
+
4
−
4
x
+
1
(
)
=
x
2
Si calculamos la raíz cuadrada del número obtenido, el resultado es el número pensado.
CM1.
Halla el número positivo que ha pensado Ana si, tras elevar al cuadrado el resultado de sumarle 3 y restar a la
cantidad resultante el séxtuplo del número de partida, obtuvo el número 58.
CM2.
Inventa un procedimiento similar a los anteriores para averiguar el número que ha pensado otra persona.
