4
Ecuaciones
72
4.
ECUACIONES BICUADRADAS
Lucas está inventando ecuaciones y necesita saber cuáles son las soluciones de:
x
4
−
16
=
0 y
x
4
−
4
x
2
=
0
Se trata de
ecuaciones de cuarto grado
incompletas.
Para resolverlas utilizamos procedimientos que usamos con las ecuaciones de
segundo grado incompletas.
En la ecuación:
x
4
−
16
=
0
1
Despejamos la única incógnita:
x
4
=
16
Como
x
está elevado a 4, es decir, es una potencia de exponente par, hay
dos valores posibles, uno positivo y otro negativo, que verifican la expresión.
2
Resolvemos la ecuación:
x
= ±
16
4
= ±
2
Lucas podrá encontrar dos soluciones: 2 y
−
2.
En la ecuación:
x
4
−
4
x
2
=
0
1
Extraemos factor común:
x
2
x
2
−
4
(
)
=
0
Obtenemos un producto con resultado nulo; así, al menos uno de los factores
debe ser igual a 0.
2
Resolvemos las ecuaciones:
x
2
=
0
→
x
=
0
x
2
−
4
=
0
→
x
2
=
4
→
x
= ±
4
= ±
2
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
En este caso, obtendrá tres soluciones: 0, 2 y
−
2.
Después, Lucas quiere determinar las soluciones de estas otras ecuaciones:
x
4
−
5
x
2
+
4
=
0 y
x
4
−
3
x
2
−
4
=
0
Estas
ecuaciones
de cuarto grado son
de la forma
ax
4
+
bx
2
+
c
=
0.
Para
resolverlas, podemos realizar un
cambio de variable
con el que las transformamos
en ecuaciones de segundo grado mediante las propiedades de las potencias:
p
=
x
2
→
p
2
=
x
2
( )
2
=
x
4
Así, para resolver las ecuaciones:
x
4
−
5
x
2
+
4
=
0
x
4
−
3
x
2
−
4
=
0
1
Cambiamos la variable:
p
2
−
5
p
+
4
=
0
p
2
−
3
p
−
4
=
0
2
Resolvemos la ecuación de segundo grado que obtenemos:
p
=
5
±
25 16
2
p
1
=
4
p
2
=
1
p
=
3
±
9
+
16
2
p
1
=
4
p
2
=
1
3
Deshacemos el cambio de variable con cada solución:
x
2
=
4
→
x
= ±
4
= ±
2
x
2
=
1
→
x
= ±
1
= ±
1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
x
2
=
4
→
x
= ±
4
= ±
2
x
2
=
−
1
→
No tiene solución.
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Las soluciones de
x
4
−
5
x
2
+
4
=
0 son 2,
−
2, 1,
−
1.
Las soluciones de
x
4
−
3
x
2
−
4
=
0 son 2 y
−
2.
Las
ecuaciones bicuadradas
son las ecuaciones de cuarto grado de la forma
ax
4
+
bx
2
+
c
=
0,
siendo
a,
b
y
c
números reales conocidos y
a
≠
0.
Para resolverlas, primero se pueden transformar con un cambio de variable:
p
=
x
2
→
ap
2
+
bp
+
c
=
0
Después, se resuelve la ecuación de segundo grado, y por último, se deshace el
cambio para calcular las posibles soluciones.
Presta atención
El número máximo de soluciones
reales de una ecuación coincide
con su grado.
Aprenderás a…
●
Reconocer ecuaciones
bicuadradas.
●
Calcular las soluciones de una
ecuación bicuadrada.
