4
Ecuaciones
68
2.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Martín tiene una parcela
rectangular de 96 m
2
que ha
separado en un cuadrado y un
rectángulo de 4 m de ancho.
¿Cuáles son las dimensiones de la
parcela?
Si llamamos
x
a la longitud, en
metros, del lado del cuadrado,
tenemos que las dimensiones de
la parcela son:
x
y
x
+
4
Entonces:
x
(
x
+
4)
=
96
→
x
2
+
4
x
−
96
=
0
Identificamos los coeficientes en la ecuación de segundo grado:
a
=
1,
b
=
4 y
c
=
−
96, y la resolvemos:
x
=
4
±
4
2
4 1 ( 96)
2 1
=
4
±
400
2
x
1
=
4
+
20
2
=
8
x
2
=
4 20
2
=
12
Aunque el valor
−
12 verifica la igualdad, no es una solución válida, ya que los lados
de un cuadrado no pueden tener una longitud negativa.
Por tanto, las dimensiones son:
x
=
8 m y
x
+
4
=
12 m
Una
ecuación de segundo grado
es una igualdad que puede expresarse de la
forma
ax
2
+
bx
+
c
=
0,
siendo:
❚
a, b
y
c,
números reales conocidos, con
a
≠
0, llamados
coeficientes.
❚
x,
la
incógnita,
el valor desconocido.
Las
soluciones
de este tipo de ecuaciones se obtienen mediante la fórmula:
x
=
−
b
±
b
2
−
4
ac
2
a
Para saber el
número de soluciones
reales de una ecuación de segundo grado nos
basta conocer el signo del valor del radicando:
❚
Si
b
2
−
4
ac
>
0
→
tiene dos soluciones distintas.
❚
Si
b
2
−
4
ac
=
0
→
solo tiene una solución.
❚
Si
b
2
−
4
ac
<
0
→
no tiene solución.
Presta atención
Observa que:
(
x
−
8)(
x
+
12)
=
x
2
+
4
x
−
96
Las soluciones de una ecuación de
segundo grado coinciden con las
raíces del polinomio de segundo
grado con la misma expresión.
a x
−
x
1
(
)
x
−
x
2
(
)
=
ax
2
+
bx
+
c
❚
Utilizamos el signo
±
para indicar que la
fórmula puede tener dos
resultados.
❚
Al valor del radicando
b
2
−
4
ac
lo llamamos
discriminante
y lo
representamos por
Δ
.
Lenguaje matemático
mac3e13
Aprenderás a…
●
Identificar ecuaciones de
segundo grado.
●
Resolver ecuaciones de
segundo grado.
●
Plantear ecuaciones de
segundo grado para resolver
problemas.
●
Determinar, según el signo
del discriminante, el número
de soluciones de una
ecuación de segundo grado.
