69
4
Actividades
Copia en tu cuaderno y empareja las ecuaciones con
sus soluciones.
10
Calcula el valor de
m
en la ecuación de segundo grado
x
2
+
mx
−
24
=
0, si
x
=
3 es una de sus soluciones.
Resuelve estas ecuaciones de segundo grado.
a)
x
2
−
3
x
−
10
=
0
c)
2
x
2
−
6
x
+
4
=
0
b)
x
2
+
x
−
12
=
0
d)
x
2
+
x
−
42
=
0
Indica el número de soluciones de las ecuaciones de
segundo grado, sin resolverlas.
a)
x
2
−
6
x
+
9
=
0
c)
4
x
2
−
4
x
+
1
=
0
b)
x
2
+
x
+
1
=
0
d)
x
2
−
5
x
+
6
=
0
Escribe una ecuación de segundo grado cuyas
soluciones sean 4 y 5.
Determina los valores de
a
para que
x
2
+
ax
+
4
=
0
tenga una única solución.
11
12
13
14
15
Halla el valor de los coeficientes
b
y
c
de la ecuación
3
x
2
+
bx
+
c
=
0, si 2 y
−
3 son sus soluciones.
16
Resuelve, sin realizar los productos, estas ecuaciones
de segundo grado.
a)
(
x
+
1)(
x
−
1)
=
0
c)
3(
x
−
4)(
x
+
4)
=
0
b)
(2
x
+
3)(2
x
−
3)
=
0
d)
(4
x
−
5)(4
x
+
5)
=
0
Si la suma de un número positivo y su cuadrado
es 756, ¿de qué número se trata?
17
18
Halla el perímetro de un cuadrado, sabiendo que,
al aumentar la longitud de dos lados paralelos en
12 cm, obtenemos un rectángulo que tiene una
superficie de 364 cm
2
.
19
``
Encuentra la ecuación de segundo grado cuyo
coeficiente principal es 2, sabiendo que sus
soluciones son 1 y
−
3.
Solución
Si el coeficiente principal es 2 entonces la ecuación es
de la forma:
2
x
2
+
bx
+
c
=
0
Como las soluciones de la ecuación de segundo grado
coinciden con las raíces del polinomio con el mismo
grado:
2
x
2
+
bx
+
c
=
2(
x
−
1)(
x
+
3)
=
2
x
2
+
4
x
−
6
Así, la ecuación es:
2
x
2
+
4
x
−
6
=
0
EJERCICIO RESUELTO
``
Al aumentar en 4 m dos
lados paralelos de un
cuadrado, obtenemos
un rectángulo de 96 m
2
de área. ¿Qué longitud
tiene el lado del
cuadrado original?
Solución
Llamamos
x
a la longitud
del lado del cuadrado y
dibujamos sobre cada uno
de los lados un rectángulo
cuyos lados sean
x
y 1,
respectivamente.
El área de la figura que obtenemos mide:
x
2
+
4
x
=
96
→
x
(
x
+
4)
=
96
Añadimos cuatro cuadrados
en las esquinas, completando
un nueva figura, es un
cuadrado de lado
x
+
2, cuya
superficie mide:
96
+
4
=
100 m
2
Entonces: (
x
+
2)
2
=
100
Resolvemos:
x
+
2
= ±
10
→
x
1
=
10
−
2
=
8
x
2
=
−
10
−
2
=
−
12
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Como la medida del lado del cuadrado no puede ser un
valor negativo, la solución del problema es 8 m.
EJERCICIO RESUELTO
x
4
x
x
x
1
1
1
1
x
+2
x
+2
DESAFÍO
Comprueba que, si
x
1
y
x
2
son las soluciones de una ecuación de segundo grado
ax
2
+
bx
+
c
=
0, se verifican
las relaciones de Cardano:
x
1
+
x
2
=
−
b
a
y
x
1
⋅
x
2
=
c
a
20
2x
2
+
3x
−
2
=
0
x
2
−
5x
+
6
=
0
x
2
−
2x
−
120
=
0
6x
2
+
17x
+
12
=
0
x
=
−
3
2 y x
=
−
4
3
x
=
−
10 y x
=
12
x
=
−
2 y x
=
1
2
x
=
2 y x
=
3
