11
Funciones
6
1.
Relaciones funcionales
215
11
Actividades
11
Funciones
214
1.
RELACIONES FUNCIONALES
Un cineha registrado losdatosde la recaudaciónen taquilladeunade sus salaspara
estudiar la relación existente entre el número de espectadores y el dinero obtenido
por la venta de las entradas.
Observamosque losvaloresde la
recaudación
dependendel
númerodeespectadores
yqueparaunnúmerodeterminadodeespectadores solopuedeobtenerseunúnico
valor en la recaudación. Además, podemos elegir valores para la variable
número
de espectadores
y obtener los correspondientes valores de la variable
recaudación.
Formas de expresar una función
ENUNCIADO.
Es la expresión verbal de la situación.
Álvaro recorre 600 m para llegar a su casa y tarda 120 s manteniendo la velocidad.
TABLA DE VALORES.
Es el conjunto de pares de valores relacionados.
GRÁFICA.
Es la representación en el
plano de los puntos que pertenecen a
la función. La variable independiente,
x,
se representa en el
eje de abscisas,
el
eje
X,
y la dependiente,
y,
en el
eje de
ordenadas,
el eje
Y.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
También
llamada
ecuación
de la función, es la
expresiónque relaciona losvaloresde
y
con
los valores de
x.
En este caso, la expresión
algebraica de la función es:
f
(
x
)
=
5
x
Indica si las siguientes gráficas representan o no una función. Razona la respuesta.
a)
b)
c)
1
Sabemos que un kilo de naranjas cuesta 1,20 €.
a)
Construye una tabla de valores e indica cuáles son la variable independiente
y la variable dependiente.
b)
¿Tiene sentido dar valores negativos a
x
?
c)
¿Tiene sentido dar valores a
x
que no sean números enteros?
Indica cuáles de las siguientes relaciones son funciones y, si lo son, señala las
variables independiente y dependiente.
a)
A cada kilo de peras se le asigna su precio.
b)
A cada fracción se le asignan sus equivalentes.
c)
A cada persona se le asigna su edad.
d)
A cada número se le asigna su mitad.
Teniendo en cuenta que el telesilla de una pista de esquí circula a 4 m/s, copia en
tu cuaderno y completa la siguiente tabla.
2
3
4
Halla:
a)
La imagen de
x
=
5 mediante la función
f
(
x
)
=
2
x
−
1.
b)
La imagen de
x
=
−
2 mediante la función
f
(
x
)
=
−
2
x
−
1.
Escribe la expresión algebraica que corresponda a:
a)
La función que asocia a cada número su triple más 1.
b)
La función que asocia a cada número su mitad.
c)
La función que asocia a cada número su opuesto.
Halla la expresión algebraica de la función que relaciona el radio de una
circunferencia y la longitud de la misma.
Estudia si las siguientes tablas se corresponden con una función y escribe, cuando
sea posible, la expresión algebraica.
a)
c)
e)
b)
d)
f)
5
6
7
8
Aprenderás a…
●
Comprender las relaciones
expresadasporenunciados,
tablas,gráficas y fórmulas.
●
Reconoceruna función.
En tu vida
diaria
El tiempo es una variable
natural que cambia
constantemente. A medida
que el tiempo pasa, todas
las cosas cambian.
Existen funciones que no admiten ningún tipo de expresión algebraica, por lo que es imposible predecir
resultados futuros o pasados a partir de cualquier gráfica obtenida de forma experimental. Un ejemplo es la
variación de la temperatura a lo largo de un día.
Busca en Internet alguna gráfica que confirme lo anterior.
9
Investiga
Número de espectadores
15 20 36 54
Recaudación (€)
120 160 288 432
Tiempo (s)
20 40 60 80 100 120
Distancia (m)
100 200 300 400 500 600
Una
función
esuna relaciónentredosmagnitudeso variablesnuméricas,
x
e
y,
tal
que a cada valor de
x
le corresponde un único valor de
y.
❚
La magnitud en la que se pueden elegir libremente los valores se denomina
variable independiente
y se denota con la letra
x.
❚
La magnitud en la que los valores se obtienen por la relación funcional es la
variable dependiente,
que se indica con la letra
y.
EJERCICIORESUELTO
}
Razona si las siguientes relaciones son funciones.
a)
Cada número real y su doble.
b)
El tiempo que está un grifo abierto y la cantidad de agua que sale.
c)
El peso de cada persona según su altura.
Solución
a)
Es una función porque para cada valor de
x,
su doble es un único número.
b)
Es una función porque según los minutos que está el grifo abierto
obtenemos un número único de litros de agua recogida.
c)
No es una función, porque para personas con la misma altura, podemos
obtener varios valores distintos de peso.
Presta atención
La imagendeunvalor
x
mediante
una funcióneselvalornumérico
queobtenemosal sustituirdicho
valoren laexpresiónalgebraicade
la función
f
(
x
)
.
Tiempo (s)
5
15
50
O
O
O
600
Distancia (m)
O
O
O
500 800 2 000
O
x
1 2 3 4
y
3 5 7 9
x
0 1 2 3
y
−
2
−
1 0 1
x
1 2 3 4
y
1 4 9 16
x
1 1 1 1
y
1 4 9 16
x
2 4 6 8
y
1 2 3 4
x
1 2 3 4
y
5 6 7 8
O
X
Y
O
X
Y
O
X
Y
❚
A la variabledependiente
y
también la llamamos
imagen
de
x.
❚
Podemosutilizar
f
(
x
)para
representar lavariable
y.
Conestaexpresión
indicamosque
y
depende
de
x.
Lenguaje matemático
mac3e40
Soluciones de las actividades
1
Indica si las siguientes gráficas representan o no una función. Razona la respuesta.
a)
b)
c)
O
X
Y
O
X
Y
O
X
Y
a)
y
c)
No es función, un mismo valor
x
tiene dos imágenes.
b)
Si es función, a cada valor de
x
le corresponde un único valor de
y.
Sugerencias didácticas
Resultará sencilla la comprensión por parte de los alumnos
de qué es una relación funcional, bastará recordar algunas
situaciones de la vida cotidiana y pedir que ellos citen más.
Es fundamental que presentemos ejemplos de relaciones
entre variables que no sean funcionales por medio de enun-
ciados, tablas y gráficas, para que sepan distinguir.
Es recomendable que de los enunciados que sugieran se
cree la tabla de valores, la gráfica y la expresión algebraica.
Será necesario que reconozcan cuáles son y qué valores to-
man la variable independiente y la dependiente.
Conviene trabajar en la modelación de las expresiones alge-
braicas de una función dada por un enunciado o una tabla.
GeoGebra.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Se muestra la gráfica de la función
f
(
x
)
=
5
x.
Puede utilizarse pul-
sando sobre la barra de navegación para ver el proceso paso a
paso: primero se colocan los puntos y a continuación la recta,
o activando el botón Reproduce de modo que la construcción
se realizará automáticamente sin necesidad de interacción con
el archivo. Este recurso completa la explicación del libro. Puede
proponerse a los alumnos representar otras funciones sencillas o
comprobar los resultados de los ejercicios 4 y 8.
