11
Funciones
14
5.
Simetrías y periodicidad
222
11
Funciones
223
DESAFÍO
Piensaqueelnúmerodeldorsaldeunatletacorrespondeaunpuntodelplanomientras realizaestaspruebas:
50 m vallas salto de longitud salto de altura
Imaginamos que el punto, durante su movimiento, describe la gráfica de una función. ¿Cuál de las tres crees
que describe una función periódica? ¿Por qué?
31
5.
SIMETRÍAS Y PERIODICIDAD
Simetrías
Fíjate en estas funciones:
Periodicidad
Los dueños de una fábrica de televisores acaban de automatizar todo el proceso de
producción: montaje de componentes, control de calidad y almacenamiento.
La duración del proceso de fabricación de un televisor es de 15 min, y cada proceso
arranca cuando se produce la entrada de un aparato terminado en el almacén.
En esta gráfica se ha representado el funcionamiento de la fábrica.
Dos valores opuestos tienen la misma
imagen.
f
(
−
1)
=
1
=
f
(1)
f
(
−
2)
=
4
=
f
(2)
Diremos que es una función
par.
Las imágenes de dos valores opuestos
son opuestas.
f
(
−
1)
=
−
1
=
−
f
(1)
f
(
−
2)
=
−
8
=
−
f
(2)
Diremos que es una función
impar.
Aprenderás a…
●
Identificar funciones con
simetríaparo impar.
●
Reconocer funciones
periódicas.
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
❚
Una función tiene
simetría par
si es simétrica respecto del eje de
ordenadas.
f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
❚
Una función tiene
simetría impar
si es simétrica respecto del origen
de coordenadas.
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
x
−
2
−
1 0 1 2
f
(
x
)
4 1 0 1 4
x
−
2
−
1 0 1 2
f
(
x
)
−
8
−
1 0 1 8
Decide qué tipo de simetría tienen estas funciones.
26
Dadas las funciones, señala si son pares, impares o
no presentan simetría.
a)
f
(
x
)
=
−
x
c)
f
(
x
)
=
x
5
−
x
b)
f
(
x
)
=
1
x
2
d)
f
(
x
)
=
x
3
−
x
2
Estas funciones son periódicas. ¿Cuál es su período?
a)
b)
28
29
EJERCICIORESUELTO
}
Estudia la simetría de estas funciones.
a)
f
(
x
)
=
x
2
c)
f
(
x
)
=
x
3
−
x
b)
f
(
x
)
=
2
x
4
−
x
2
d)
f
(
x
)
=
x
2
−
x
Solución
a)
La función es par.
b)
La función es par.
c)
f
−
x
( )
=
−
x
( )
3
− −
x
( )
=
−
x
3
+
x
−
f x
( )
=
−
x
3
−
x
(
)
=
−
x
3
+
x
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
→
f
−
x
( )
=
−
f
−
x
( )
La función es impar.
d)
f
−
x
( )
=
−
x
( )
2
− −
x
( )
=
x
2
+
x
−
f x
( )
=
−
x
2
−
x
(
)
=
−
x
2
+
x
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
→
f
−
x
( )
≠
f x
( )
f
−
x
( )
≠
−
f x
( )
La función no es par ni impar.
f
−
x
( )
=
2
−
x
( )
4
− −
x
( )
2
=
2
x
4
−
x
2
=
f x
( )
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
a)
b)
c)
d)
Indica el tipo de simetría que presentan las funciones
dadas por estas tablas.
a)
27
x
−
2
−
1 0 1 2
f
(
x
)
16 1 0 1 16
x
−
2
−
1 0 1 2
f
(
x
)
−
32
−
1 0 1 32
b)
Una función es
periódica
de período
T
cuando el comportamiento de la función
en el intervalo [
x, x
+
T
] se repite en intervalos sucesivos.
Decimos que esta función es
periódica
porque se comporta de la misma forma en
intervalos iguales de 15 min. El valor 15 recibe el nombre de
período.
11
Actividades
f
−
x
( )
=
−
x
( )
2
=
x
2
=
f x
( )
Ana ha borrado la gráfica desde el punto
x
=
3;
dibújala en tu cuaderno sabiendo que corresponde a
una función periódica de período
T
=
5.
30
mac3e42
Soluciones de las actividades
26
A la vista de estas gráficas decide qué tipo de simetría tiene cada una.
a)
c)
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
Sugerencias didácticas
En la unidad 7 los alumnos han estudiado qué es una sime-
tría axial y una simetría central. Así, si dibujamos dos fun-
ciones, una de ellas simétrica respecto el eje de ordenadas y
otra con simetría central de centro el origen de coordenadas
los alumnos entenderán qué es una función par y qué es una
función impar. Deben comprender que dos valores opuestos
de la variable independiente en una función par tienen la
misma imagen, y en una impar, imágenes opuestas.
Para que los alumnos identifiquen qué es una función pe-
riódica será suficiente poner un ejemplo y sugerirles que
propongan algunos más.
GeoGebra.
FUNCIÓN PERIÓDICA
Para completar la explicación del libro sobre este tipo de funcio-
nes se propone un recurso con el que se incide en la periodicidad.
Es conveniente indicar que la gráfica de la función continuará in-
definidamente aunque en el archivo solo se representan algunos
trozos. En él se muestra la representación gráfica de una función
periódica y no continua. Puede utilizarse pulsando sobre la barra
de navegación para ver el proceso paso a paso: primero se colo-
can los puntos y a continuación el trozo de función, o activando
el botón Reproduce de modo que la construcción se realizará au-
tomáticamente sin necesidad de interacción con el archivo.
