11
Funciones
10
3.
Continuidad
219
11
Actividades
11
Funciones
218
3.
CONTINUIDAD
La estatura de Pablo, en cm, entre los 6 y los 16 años viene dada por esta gráfica.
Podemosdibujarla sin levantarel lápizdelpapel.Así, laestaturadePablo conelpaso
de los años es una función
continua.
Fíjate en la gráfica y el cartel que hay a la entrada de un garaje. Nos informan de lo
que cuesta tener un coche aparcado por horas.
Aprenderás a…
●
Determinar la continuidad
deuna función.
●
Indicar lospuntos
dediscontinuidad.
Una
función
es
continua
en un intervalo si su gráfica no presenta saltos o
interrupciones en dicho intervalo.
No todas las funciones son continuasen todo sudominio. Lospuntosdondeuna
función presenta saltos se llaman
puntos de discontinuidad.
O
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
110
130
150
170
Edad
Estatura (m)
EJERCICIORESUELTO
}
Decide cuáles de estas funciones son continuas, razonando la respuesta.
a)
b)
c)
d)
Solución
Las funciones de los apartados b) y c) tienen un salto en
x
=
2. Así pues, las funciones no son continuas porque no podemos
dibujarlas de un solo trazo.
Las funciones de los apartados a) y d) no presentan saltos; por tanto, son funciones continuas.
O
1
1
X
Y
1
X
O
1
Y
1
X
O
1
Y
1
X
O
1
Y
Decide si son continuas las funciones de estos enunciados. Razona tu respuesta.
a)
La cantidad de caramelos de un cierto tipo y el importe de su compra.
b)
El crecimiento de un árbol y el tiempo transcurrido desde que se plantó.
c)
El precio del alquiler de un coche que cuesta 3 € por kilómetro recorrido.
Indica si las funciones representadas son continuas; en caso de que alguna no lo
sea, escribe los puntos de discontinuidad.
a)
c)
17
18
Un centro deportivo cobra 20 € por la matrícula y una cuota de 30 € al mes.
a)
Si Cayetana lleva 6 meses yendo a este gimnasio, ¿cuánto dinero ha pagado
en total?
b)
¿Cuánto ha pagado Belén, que lleva 3 años?
c)
Dibuja la gráfica de una función que represente el dinero pagado según el
número de meses que se utiliza el gimnasio.
d)
¿Es continua dicha función?
El ayuntamiento de un pueblo ha decidido promover el uso de la bicicleta. Con
este fin, ha comprado 40 para alquilarlas según estas tarifas:
19
20
b)
d)
Presta atención
Para indicar lospuntosde
discontinuidaddeuna función
utilizamos laexpresión
x
=
a
,
donde
a
es laabscisadel
puntodonde sepresenta la
discontinuidad.
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
1
1
X
O
Y
O
1
1
X
Y
DESAFÍO
Describe y dibuja en tu cuaderno una función que no sea continua e indica cuáles son sus puntos de
discontinuidad.
21
En la gráfica vemos que la función presenta saltos cada 30 min y un encarecimiento
del precio. La función que relaciona el
precio
y el
tiempo
no es continua. Decimos
que tiene puntos de discontinuidad en
x
=
1;
x
=
1,5;
x
=
2;
x
=
2,5;
x
=
3; …
Presta atención
Aldibujarunagráfica,podemos
adecuar laescalade losejeso
marcarun corteenellospara
obteneruna representaciónmás
clarade la función.
Representa la gráfica de la función que relaciona el
tiempo de uso
y el
coste de la
bicicleta.
Para indicarqueaun valor
de
x
le correspondeun
valorde
y
en lagráfica, lo
representamos con , y con
cuandono le corresponde.
Lenguaje matemático
mac3e41
Soluciones de las actividades
17
Decide si son continuas las funciones de estos enunciados. Razona tu respuesta.
a)
La cantidad de caramelos de un cierto tipo y el importe de su compra.
b)
El crecimiento de un árbol y el tiempo transcurrido desde que se plantó.
c)
El precio del alquiler de un coche que cuesta 3 € por kilómetro recorrido.
a)
Es continua, no presenta saltos ni interrupciones.
b)
Es continua, el crecimiento de un árbol no presenta saltos
c)
No es continua, cada kilómetro recorrido supone un salto de 3 euros en el precio de alquiler.
Sugerencias didácticas
Se deben proponer ejemplos gráficos de la vida cotidiana
de funciones definidas a trozos que sean continuas y otras
no continuas.
Será conveniente recordar que cuando a un valor
x
le co-
rresponde un valor
y
en la gráfica lo representaremos con
,
y con • cuando no le corresponde.
En las funciones no continuas hemos de hacer hincapié en
estudiar la continuidad en el dominio de definición y en los
extremos del mismo.
Se debe insistir en cómo se expresan los puntos de discon-
tinuidad (
x
=
a
).
Conviene prestar atención a la escala de los ejes al represen-
tar la gráfica de una función.
GeoGebra.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN NO CONTINUA
Se muestra la representación gráfica de una función con puntos
de discontinuidad.
Puede utilizarse pulsando sobre la barra de navegación para ver
el proceso paso a paso: primero se colocan los puntos y a con-
tinuación el trozo de función, o activando el botón Reproduce
de modo que la construcción se realizará automáticamente sin
necesidad de interacción con el archivo.
Este recurso completa la explicación del libro sobre este tipo de
funciones incidiendo en los saltos de la gráfica que suelen tener
una mayor dificultad para los alumnos.
