11
Funciones
12
4.
Crecimiento. Máximos y mínimos
220
221
11
11
Funciones
Actividades
Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de estas funciones, así como
sus máximos y mínimos.
a)
d)
b)
e)
c)
f)
23
Estudia la monotonía de las siguientes funciones.
a)
c)
b)
d)
22
4.
CRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Germán salióamontarenbicicleta y sepusounpulsímetropara controlar los latidos
de su corazón. Al terminar, obtiene el resultado que muestra esta gráfica.
Observamos que, en el primer kilómetro, el número de pulsaciones por minuto de
Germán aumenta de 60 a 90 pul/min. Inicia el descenso a lo largo de 2 km, y
su ritmo disminuye hasta 75 pul/min. Desde el tercer kilómetro hasta el final del
trayecto atraviesa un llano y se mantiene en 75 pul/min. Diremos que esta función
es
creciente
en el intervalo (0, 1),
decreciente
en el intervalo (1, 3) y
constante
en
el intervalo (3, 5).
Germán alcanza el máximo de pulsaciones al llegar al primer punto kilométrico. Así,
el punto (1, 90) es un máximo de la función.
Aprenderás a…
●
Reconocerenuna función
el crecimientoyel
decrecimiento, lospuntos
máximos ymínimos.
O
1
60
70
80
90
2
3
4
5 Distancia (km)
Pulsaciones
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
❚
Un punto
(
a, f
(
a
)) de una función continua es un
máximo
si en este punto la
función pasa de ser creciente a ser decreciente.
❚
Un punto (
a, f
(
a
)) de una función continua es un
mínimo
si en este punto la
función pasa de ser decreciente a ser creciente.
❚
Una funciónes
creciente
enun intervalo si,alaumentar los valoresde la variable
independiente,
x,
también aumentan los de la variable dependiente,
f
(
x
)
.
❚
Una función
es
decreciente
en un intervalo si, al aumentar los valores de la
variable independiente,
x,
disminuyen los de la variable dependiente,
f
(
x
).
❚
Una función es
constante
en un intervalo cuando no crece ni decrece en ese
intervalo.
EJERCICIORESUELTO
}
Fíjateen la función representadaenestagráficayestudia lamonotonía.
Solución
❚
Esta función es creciente en los
intervalos (
−∞
, 1) y (3,
+
∞
),
y decreciente en el intervalo (1, 3).
❚
Tiene un máximo en el punto (1, 3)
y un mínimo en (3,
−
1).
DESAFÍO
Dibuja aproximadamente la gráfica de la función que describe la altura de una de las cabinas de una noria
de 70 m de altura cuando se encuentra en movimiento. Estudia la monotonía de esta función.
25
Razona si estas afirmaciones son verdaderas o falsas.
a)
Hay funciones que no tienen máximos ni mínimos.
b)
Entre dos puntos mínimos necesariamente hay dos puntos máximos.
24
Presta atención
Para indicarel comportamiento
del crecimientoyeldecrecimiento
deuna funciónutilizamos siempre
intervalosabiertos.
O
1
1
X
Y
❚
Hallar losextremos
relativos
esdescribir
lospuntosmáximos y
mínimosdeuna función.
❚
Estudiar lamonotonía
es
analizar sies crecienteo
decrecienteen sudominio
yhallar susextremos
relativos.
Lenguaje matemático
Soluciones de las actividades
22
Estudia la monotonía de siguientes funciones.
a)
c)
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
b)
d)
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
Sugerencias didácticas
Para que los alumnos comprendan los conceptos de fun-
ción creciente, decreciente y constante dibujaremos una
gráfica.
Hemos de resaltar que en el estudio de la monotonía de
funciones los resultados son intervalos de la recta real.
Es necesario darle importancia a las definiciones de pun-
to máximo y punto mínimo, es frecuente que los alumnos
asocien un punto máximo con el que tiene mayor imagen
en la gráfica. También les cuesta entender que una función
pueda tener varios máximos y varios mínimos; y conviene
insistir en la determinación de puntos máximos y mínimos
utilizando las dos coordenadas de los puntos.
a)
Es una función decreciente
en todo su dominio.
b)
Es una función creciente en
todo su dominio.
c)
Es decreciente en el
intervalo (
−∞
, 0) y es
creciente en (0,
+
∞
). Tiene
un punto mínimo en (0, 0).
d)
Es creciente en el intervalo
(
−∞
, 1), es decreciente en
(1,
+
∞
). Tiene un punto
máximo en (1, 1).
