11
Funciones
8
2.
Dominio y recorrido. Puntos de corte
217
11
Actividades
11
Funciones
216
2.
DOMINIO Y RECORRIDO. PUNTOS DE CORTE
Dominio y recorrido
La madre de Miguel explica a su hijo cómo se hace un bizcocho:
Primero esperamos
a que el horno alcance 190 ºC, que es la temperatura adecuada para introducir la
masa; luego dejamos que se hornee durante 30 minutos.
Miguel ha dibujado la gráfica que muestra la temperatura del horno en función del
tiempo transcurrido.
Los primeros 10 min desde que se enciende el horno, la temperatura aumenta de
20 ºC, que es la temperatura ambiente, a 190 ºC, que es la deseada. Desde el minuto
10al40 semantieneconstanteenesevalor.Cuando seapagaelhorno, la temperatura
desciende hasta igualarse a la del ambiente, en lo que tarda 15 min. La variación de
tiempoha sidode0a55min,por loquediremosqueel
dominio
esel intervalo [0,55].
La temperatura varía entre 20 ºC y 190 ºC; diremos que el
recorrido
es el intervalo
[20, 190].
Puntos de corte con los ejes
Aprenderás a…
●
Utilizarel lenguajeadecuado
paradescribirunagráfica.
●
Identificarenuna funciónel
dominio,el recorrido y los
puntosde corte con losejes.
❚
El
dominio de una función
es el conjunto de los valores que puede tomar la
variable independiente, y se denota por
Dom
f.
❚
El
recorridodeuna función
esel conjunto formadopor los valoresque toma la
variable dependiente.
Los
puntosde corte con losejes
son lospuntosde intersecciónde lagráficade
la función con los ejes de coordenadas.
❚
Los
puntos de corte con el eje de abscisas
son de la forma
(
x
, 0),
donde el
valor de
x
se calcula resolviendo la ecuación
f
(
x
)
=
0.
❚
El
punto de corte con el eje de ordenadas
es un punto de la forma
(0,
y
).
El valor de
y
se obtiene hallando
f
(0).
EJERCICIORESUELTO
}
Determina el dominio de las siguientes funciones.
a)
f
(
x
)
=
x
2
b)
g
(
x
)
=
x
−
1
c)
h
(
x
)
=
1
x
−
2
a)
Para cualquier número real
x
, podemos obtener una imagen elevándolo al
cuadrado; por tanto, el dominio son todos los números reales: Dom
f
=
b)
Solo podemos hallar la imagen de aquellos valores que hacen el radicando
positivo, es decir, si
x
≥
1. Así, el dominio son los números reales mayores o
iguales que 1. Se escribe: Dom
g
=
[1,
+
∞
)
c)
Podemos calcular una imagen cuando el denominador sea distinto de 0, esto
ocurre si
x
≠
2. Luego, el dominio son todos los números reales excepto el 2:
Dom
h
=
−
{2}
EJERCICIORESUELTO
}
Dada la función
f
(
x
)
=
x
2
−
2
x
−
3, halla los puntos
de corte con los ejes.
Solución
❚
Cortes con el eje
X:
Si
f
(
x
)
=
0
x
2
−
2
x
−
3
=
0
→
x
=
−
(
−
2)
±
16
2
⋅
1
=
2
±
4
2
→
x
=
−
1
x
=
3
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
Los puntos de corte son: (
−
1, 0) y (3, 0)
❚
Corte con el eje
Y:
Si
x
=
0
f
(0)
=
−
3
La función corta en el punto: (0,
−
3)
Averigua el dominio y el recorrido de las siguientes
funciones.
a)
c)
b)
d)
10
Estudia el dominio, el recorrido y los puntos de corte
con los ejes de estas funciones.
a)
d)
b)
e)
c)
f)
11
O
1
1
Y
X
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
Y
X
O
1
1
X
Y
O
1
1
Y
X
Halla algebraicamente el dominio de:
a)
f
(
x
)
=
1
x
d)
f
(
x
)
=
x
b)
f
(
x
)
=
x
2
−
5
x
+
6
e)
f
(
x
)
=
x
x
+
2
c)
f
(
x
)
=
x
2
+
x
f)
f
(
x
)
=
x
+
1
x
−
5
La superficie de un rectángulo mide 18 cm
2
.
a)
Expresa algebraicamente la relación entre las
variables
base
y
altura del rectángulo.
b)
Estudia el dominio de la función dada por la
expresión que has escrito en el apartado anterior.
Calcula los puntos de corte con los ejes de las
siguientes funciones y utilízalos para dibujarlas.
a)
y
=
−
x
c)
y
=
x
+
5
b)
y
=
−
x
−
1
d)
y
=
x
−
5
12
13
14
Presta atención
Una funciónpuede cortaraleje
X
en
variospuntos,pero solopuede tener
unpuntode corte coneleje
Y.
❚
Cortes coneleje
X:
(
−
2,0)y (2,0)
❚
Corte coneleje
Y:
(0,
−
4)
•
•
•
O
1
1
X
Y
DESAFÍO
Dibuja la gráfica de una función que verifique lo siguiente.
❚
Su dominio es el intervalo [0, 10] y su recorrido es el intervalo [0, 4].
❚
f
(4)
=
4
❚
Los puntos de corte con el eje
X
son: (2, 0) y (10, 0)
❚
Corta al eje
Y
en el punto: (0, 3)
16
Calcula los puntos de corte con los ejes.
a)
y
=
2
x
2
−
2
c)
y
=
−
x
2
+
3
x
b)
y
=
x
2
−
1
d)
y
=
x
15
Soluciones de las actividades
10
Averigua el dominio y el recorrido de estas funciones.
a)
b)
c)
d)
O
1
1
Y
X
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
O
1
1
X
Y
a)
Dom
f
=
R
b)
Dom
f
=
R
c)
Dom
f
=
[
−
2, 2]
d)
Dom
f
=
[
−
3,
+
∞
)
Recorrido
=
R
Recorrido
=
[
−
2,
+
∞
)
Recorrido
=
[0, 2]
Recorrido
=
[0,
+
∞
)
Sugerencias didácticas
Para empezar a explicar el dominio y el recorrido de una
función será conveniente hacerlo a partir de su gráfica. A
continuación debemos plantear el cálculo de estos concep-
tos para funciones dadas por expresiones algebraicas.
Al estudiar el dominio en funciones racionales es muy pro-
bable que surjan dificultades, para que les resulte sencillo
se debe recordar qué ocurre cuando en una fracción alge-
braica se anula el denominador. Y para que comprendan
el dominio de funciones con radicales conviene explicarles
que, para que la imagen de un valor sea un número real, el
radicando debe ser positivo.
En el cálculo de los puntos de corte de la función con los
ejes de coordenadas es posible que los alumnos confundan
el valor de la abscisa con el de la ordenada; es importante
trabajarlo con sencillos ejemplos gráficos.
