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Estudio de las características de una función
3.
Estudiar la siguiente función
representada mediante su gráfica.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
Estudiamos el
dominio y recorrido
de la función
f
(
x
).
Fijándonos en la gráfica podemos observar que la función puede tomar cualquier
valor para la variable independiente
x
.
Por tanto, el dominio de la función son todos los números reales: Dom
f
Además al ir dando valores a la variable independiente, la variable dependiente puede
tomar cualquier valor hasta el valor 4.
Por tanto su recorrido es: Rec
f
(
, 4]
2.
En este punto estudiamos sus
puntos de corte, signo y continuidad.
Los puntos de corte de la función
f
(
x
) con el eje de abscisas son los puntos
P
1
( 5, 0),
P
2
(1, 0) y
P
3
(3, 0).
El valor
x
2 no es un punto de corte ya que la función toma como valor
f
( 2)
4
y por tanto no es un punto de corte.
La función tiene como dominio todos los números reales, por lo que se puede calcular
la imagen de
x
0 y calcular el punto de corte con el eje de ordenadas. Concreta-
mente
P
4
(0,
4).
Para determinar la continuidad de la función, observamos que la función presenta un
salto en el punto de abscisa
x
2, de modo que la función no es continua en
x
2.
En cuanto al signo, la función es:
Positiva en: ( 5,
2)
(1, 3)
Negativa en: (
,
5)
( 2, 1)
(3,
)
3.
Estudiamos ahora la
monotonía
y
curvatura
de la función
Hallamos los intervalos de monotonía de la función:
Estrictamente creciente en los intervalos: (
,
2)
(0, 2)
Estrictamente decreciente en los intervalos: ( 2, 0)
(2,
)
Calculamos los máximos y mínimos de la función:
Máximos:
M
1
(2, 1)
Mínimos:
M
2
(0,
4)
Finalmente hallamos los intervalos de curvatura.
La función es cóncava en los intervalos: ( 2, 1)
(3,
)
La función es convexa en los intervalos: (
,
2)
(1, 3)
Por último, calculamos los puntos de inflexión de la función que en este caso son
M
3
(1, 0) y
M
4
(3, 0).
1
1
Y
X
O
F
IGURA
8.43.a.
R
ESUMEN MONOTONÍA
Y
CURVATURA
Monotonía
Curvatura
–2
0
2
–2
3
+∞
+∞
−∞
−∞
1
Creciente
Cóncava
Convexa
Creciente
Decreciente
Decreciente
Convexa
Cóncava
f
(
x
)
f
(
x
)
F
IGURA
8.43.b.
