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5.5.
Acotación
Intuitivamente, una
función acotada
es aquella cuyo conjunto imagen o
recorrido está comprendido entre dos valores; por tanto, su representación
gráfica estará comprendida entre dos rectas del tipo
y k.
Una función está
acotada superiormente
si existe un número real,
k,
tal
que
f
(
x
)
k
para cualquier
x
Dom
f
. El número
k
es una
cota superior
de la
función.
Del mismo modo, una función está
acotada inferiormente
si existe un
número real,
k,
tal que
f
(
x
)
k
para cualquier
x
Dom
f
. El número
k
es, en
este caso, una
cota inferior
de la función.
Cuando una función está acotada superior e inferiormente, se dice que
está
acotada,
y se cumple que existe un valor real positivo,
k,
tal que
f
(
x
)
k
para cualquier
x
Dom
f
. El número
k
será una
cota superior,
y el número
k,
una
cota inferior.
Así, por ejemplo, las representaciones gráficas de las figuras 8.27 y 8.28
corresponden, respectivamente, a funciones acotadas total e inferiormente.
F
IGURA
8.27.
La función
f
(
x
)
x
2
x
2, cuya representación gráfica corresponde a la
figura 8.18, está acotada inferiormente. Son cotas inferiores 3 y 4, por
ejemplo.
La función
f
(
x
) 2
x
2
3
x,
cuya representación gráfica corresponde a la
figura 8.19, está acotada superiormente. Son cotas superiores 2 y 3, por ejemplo.
Es evidente que las cotas no son únicas: la cota superior mínima, si existe,
se denomina
supremo,
y la cota inferior máxima,
ínfimo.
5.6.
Periodicidad
Una función es periódica de período
T
cuando, para cualquier
x
Dom
f
,
se cumple que
f
(
x T
)
f
(
x
).
Desde el punto de vista gráfico, son funciones que se repiten cada cierto
intervalo de amplitud
T.
Por ejemplo, las funciones representadas en las figu-
ras 8.29.a y 8.29.b son periódicas de período 1 y
π
, respectivamente.
F
IGURA
8.29.b.
F
IGURA
8.28.
Y
X
2
2
2
3
2
2
5
2
T
3
2
O
Y
X
1 2 3 4 5
1 2 3 4
T
1
O
X
1
3
5
2
4
1 2 3
1
4
1
función acotada
f
(
x
)
1
1
f
(
x
)
1
5
O
Y
X
2
4
3
2
1
1
1
1 2 3
función acotada
inferiormente
f
(
x
)
0
x
O
F
IGURA
8.29.a.
OBSERVA
Una función acotada tiene infini-
tas cotas.
