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a)
Puesto que el precio,
p
(
x
), es proporcional al cuadrado del peso, debemos calcular la
constante,
k
, tal que
p
(
x
)
kx
2
.
Del enunciado se deduce que: 500
k
20
2
⇒
k
500/400 5/4
Es decir, la función que proporciona el precio en función del peso es:
p
(
x
) 5
x
2
/4
Por tanto, el precio total de los dos trozos de 5 kg y 15 kg es:
p
(5)
p
(15) 5 5
2
/4 5 15
2
/4 (5/4) (25 225) 312,50
€
b)
El precio del bloque sin seccionar, es decir, 20 kg, sería:
p
(
x
) 5 20
2
/4 500
€
Para demostrar que el precio es mayor si el bloque no se rompe, basta recordar que:
(
a b
)
2
a
2
2
ab b
2
Dado que
a
0 y
b
0, por ser
a
y
b
los pesos de los dos trozos en que se parte un
bloque de peso (
a b
), entonces: (
a b
)
2
a
2
b
2
.
Por tanto:
5
4
(
a b
)
2
5
4
(
a
2
b
2
)
5
4
a
2
5
4
b
2
c)
Supongamos una partición cualquiera del bloque de 20 kg:
x
y 20
x
El precio total será:
p
(
x
)
5
4
[
x
2
(20
x
)
2
]
Y la función que proporciona la pérdida respecto del precio del bloque sin partir es:
f
(
x
) 500
5
4
[
x
2
(20
x
)
2
]
Operando, se obtiene:
f
(
x
)
2
5
x
2
50
x
Esta es una función polinómica de segundo grado, que presenta un valor máximo en:
x
5
5
0
10
La máxima pérdida de valor se producirá cuando se divida el bloque de 20 kg en dos
bloques de 10 kg cada uno.
Modelización de situaciones reales mediante funciones
1.
El precio de cada bloque de una
cierta materia es proporcional al
cuadrado de su peso. Imagina que
tenemos un bloque de 20 kg
que cuesta 500
€
:
a)
Si el bloque se rompe en dos
trozos de 5 kg y 15 kg, ¿cuál
es ahora el precio de los dos
trozos?
b)
¿Es cierto que si el bloque
se rompe en dos trozos siempre
se depreciará?
c)
Calcular para qué partición
se produce la máxima pérdida
de valor.
El número de abrigos que producirá la fábrica, y el precio que el comerciante pagará en
función de los días transcurridos a partir de hoy, se refleja en la siguiente tabla:
Es decir, la función que proporciona los ingresos en función del tiempo transcurrido,
tomando hoy como
x
0, es:
f
(
x
)
80
x
2
5 600
x
240 000
Es una función polinómica de segundo grado, cuyo dominio, por el contexto del proble-
ma, es el conjunto de números naturales,
x,
para los cuales no se anula el precio de los
abrigos, porque esto daría un ingreso nulo.
80 0,80
x
0
⇒
x
100
Dom
f
{
x
{0}
⏐
x
[0, 100]
}
Si quisiéramos calcular el momento idóneo para vender los abrigos, bastaría recordar que
la representación gráfica de esta función es una parábola invertida, en cuyo vértice se
alcanza el valor máximo.
El vértice tiene por abscisa:
x
2
5
(
60
8
0
0)
35
Es decir, después de 35 días la venta de los abrigos que hay en la fábrica produce el
máximo beneficio.
2.
En una fábrica de ropa hay
actualmente 3 000 abrigos. Un
comerciante está dispuesto a
comprar todos los abrigos de la
fábrica a precio de mercado, que
actualmente es de 80
€
cada uno;
cada día que pasa, este precio
disminuye 0,80
€
.
Si la fábrica produce 100 abrigos
al día, determinar la función que
proporciona el dinero que ingresa
la fábrica un día cualquiera,
x,
tomando el día de hoy como
x
0.
Días
Número de abrigos
0
3 000
1
3 000 100 1
…
…
x
3 000 100
x
Precio de un abrigo
80
80 0,80 1
… 80 0,80
x
Ingresos de la fábrica
240 000
245 520
… 80
x
2
5 600
x
240 000
