219
6.
Operaciones con funciones
6.1.
Adición de funciones
Sean las funciones
f
(
x
) y
g
(
x
); la función suma, (
f g
)(
x
), es la suma de las
imágenes de
x
por
f
y por
g:
(
f g
)(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
), donde Dom (
f g
) Dom
f
Dom
g
Si alguna de estas imágenes no está definida para algún valor real, la suma
tampoco lo está.
La función resta, (
f g
)(
x
)
,
se define de modo similar:
(
f g
)(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
), donde Dom (
f g
) Dom
f
Dom
g
Ejercicio resuelto
Sumar las funciones f
(
x
)
1
x
1 y
g
(
x
)
x
x
1
2
.
Sus dominios son, respectivamente:
Dom
f
{0} y Dom
g
{2}
La función suma, (
f g
)(
x
), será:
(
f g
)(
x
)
1
x
1
x
x
1
2
y su dominio es: Dom (
f g
)
{0, 2}.
6.2.
Multiplicación de funciones
Sean las funciones
f
(
x
) y
g
(
x
); la función producto, (
f g
)(
x
), es el produc-
to de las imágenes de
x
por
f
y por
g.
Si alguna de estas imágenes no está defi-
nida para algún valor real, el producto tampoco lo está:
(
f g
)(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
), donde Dom (
f g
) Dom
f
Dom
g
Ejercicio resuelto
Multiplicar las funciones f
(
x
)
x
x
1
1
y
g
(
x
)
x
x
2
2
1
1
.
Sus dominios respectivos son:
Dom
f
{1} y Dom
g
La función (
f g
)(
x
) será:
(
f g
)(
x
)
x
x
1
1
x
x
2
2
1
1
x
x
3
3
x
x
2
2
x
x
1
1
(
x
x
2
1
1
)
2
Su dominio es:
Dom (
f g
)
{1}
El producto de funciones se simplifica con la condición indispensable de
indicar el dominio de definición.
▼
4
x
2
x
2
2
x
▼
Propiedades de la adición y de
la multiplicación de funciones
El conjunto de las funciones reales de
variable real tiene las propiedades si-
guientes respecto a la adición:
Asociativa:
(
f g
)
h f
(
g h
)
(
f g
)
h f
(
g h
)
Conmutativa:
f g g f
f g g f
Elemento neutro de la adición:
es la
función definida como
f
(
x
) 0,
∀
x
del
dominio; se denomina
f
0
.
Elemento neutro de la multiplica-
ción:
es la función unidad definida co-
mo
f
(
x
) 1,
∀
x
del dominio; se deno-
mina
f
1
.
Elemento opuesto:
∀
f
de este con-
junto, existe la función
f,
tal que
f
(
f
)
f
0
.
Distributiva respecto de la adición:
f
(
g h
)
f g f h
No toda función de este conjunto tie-
ne inversa con respecto a la multiplica-
ción; basta con tener presente que si
una función de este conjunto se anula
para un determinado valor,
a,
del
dominio, es imposible encontrar una
función,
g,
tal que
f
(
a
)
g
(
a
) =
f
1
= 1.
OBSERVA
A partir de este epígrafe, en ocasio-
nes se escribirá
f
y
g
en lugar de
f
(
x
)
y
g
(
x
) con el fin de agilizar la nota-
ción.
Potenciación de funciones
Sean las funciones
f
(
x
) y
g
(
x
); se define
la función (
f
g
)(
x
) como:
(
f
g
)(
x
) [
f
(
x
)]
g
(
x
)
donde
f
(
x
) 0,
∀
x
Dom
f
.
