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Ejercicio resuelto
Dadas las funciones f
(
x
)
x
2
y g
(
x
)
x
2
2
x
1,
calcular
(
f g
)(
x
)
y su dominio.
Procedemos a calcular (
f g
)(
x
):
(
f g
)(
x
)
f
[
g
(
x
)]
f
(
x
2
2
x
1) (
x
2
2
x
1) 2
x
2
2
x
3
El recorrido de la función
g
(
x
) es [0,
∞
) y está incluido en el dominio de
f
(
x
), que es . Por tanto:
Dom (
f g
) Dom
g
(
x
)
Si el recorrido de la primera función,
f
(
x
), no está incluido en el domi-
nio de la segunda función,
g
(
x
), hay que determinar el dominio de (
g f
)(
x
)
estudiando los valores del dominio de
g
(
x
) que tienen antiimagen por
f
(
x
):
Dom (
g f
) Dom
f f
1
(Dom
g
)
Ejercicios resueltos
Hallar
(
f g
)(
x
)
y su dominio dadas las funciones:
f
(
x
)
x
g
(
x
) 2
x
1
Procedemos a calcular (
f g
)(
x
):
(
f g
)(
x
)
f
[
g
(
x
)]
f
(2
x
1)
2
x
1
Hay que considerar los valores de
x
que cumplen 2
x
1 0.
Resolviendo la inecuación, se obtiene lo siguiente:
Dom (
f g
)
1
2
,
∞
Hallar
(
f g
)(
x
)
y su dominio dadas las funciones:
f
(
x
)
x
x
1
g
(
x
)
1
x
Procedemos a calcular (
f g
)(
x
):
(
f g
)(
x
)
f
[
g
(
x
)]
f
1
x
1/
x
1/
x
1 1
1
x
Como Dom
g
{0} y además (
f g
) no está definida en
x
1:
Dom (
f g
)
{0, 1}
A partir de las funciones
f
(
x
)
x
1 y
g
(
x
)
3
2
x
x
6
, realiza las siguientes
operaciones e indica sus respectivos dominios:
a)
(
f g
)(
x
)
b)
(
f g
)(
x
)
c)
(
f
/
g
)(
x
)
Si
f
(
x
)
x
1 y
g
(
x
)
x
1, averigua (
g
/
f
)(
x
) y su dominio.
Dadas las funciones
f
(
x
)
x
2
1 y
g
(
x
)
2
x
1, calcula las composi-
ciones
f g
y
g f,
y el dominio de cada una.
15
14
13
Actividades
▼
▼
▼
OBSERVA
La composición de funciones
no
es,
en general, conmutativa.
La composición de funciones po-
see
elemento neutro,
que es la
función identidad:
I
(
x
)
x
, que verifica
I f f I f
Cuando se componen dos fun-
ciones,
f
(
x
) y
g
(
x
), y se obtiene la
función identidad
I, f
(
x
) y
g
(
x
) son
funciones inversas
una de la otra
con respecto a la composición, y,
en estas condiciones, la composi-
ción es conmutativa:
g f f g I
